#\int \cos \left(x\right)\cdot \sin ^3\left(x\right) \,\dd x=# #{{\sin ^4\left(x\right)}\over{4}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(x)=x^3# y #h(x)=\sin \left(x\right)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos \left(x\right)\cdot \sin ^3\left(x\right)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos \left(x\right)\cdot \sin ^3\left(x\right) \,\dd x&=& \displaystyle \int \sin ^3\left(x\right) \cdot \cos \left(x\right) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=\cos \left(x\right)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\sin ^3\left(x\right) \right) \, \dd(\sin \left(x\right)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int u^3 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\sin \left(x\right)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^4}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\sin ^4\left(x\right)}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\sin \left(x\right)}
\end{array}\]