Diferenciación: Aplicaciones de las derivadas
La segunda derivada
La derivada #f'# de una función #f# se puede derivar de nuevo. Esto se conoce como la segunda derivada de #f#.
Para una función #\blue{f(x)}#, denotamos la segunda derivada como:
\[\green{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\orange{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)\]
Ejemplo
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \orange{f'(x)}&\orange{=}&\orange{6x}\\\green{f''(x)}&\green{=}&\green{6}\end{array}\]
La segunda derivada es útil cuando se quieren encontrar los valores extremos de una función #f(x)#. Observamos antes que la condición #f'(c)=0# no implicaba inmediatamente que #c# correspondiera a un valor extremo. El siguiente teorema nos ayudará a determinar si tal valor corresponde a un valor extremo o no.
Si para una función #\blue{f(x)}# y un punto #x=\purple{c}# obtenemos
- #\orange{f'(}\purple{c}\orange{)}=0#
- #\green{f''(}\purple{c}\green{)}\neq 0#,
entonces #\blue{f(x)}# tiene un valor extremo en #\purple{c}#.
Si #\green{f''(}\purple{c}\green{)}>0#, entonces #\purple{c}# corresponde a un mínimo local. Si #\green{f''(}\purple{c}\green{)}<0#, entonces #\purple{c}# corresponde a un máximo local.
Ejemplo
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\
\orange{f'(x)}&=&\orange{4x+1}\\
\green{f''(x)}&=&\green{4}\\
\orange{f'(}\purple{-\frac{1}{4}}\orange{)}&=&0\\
\green{f''(}\purple{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&4\neq 0\end{array}\]
Simplifica tu respuesta tanto como sea posible.
Primero calculamos la primera derivada usando la regla de la potencia.
\[f'(x)=16\cdot x^3-8\cdot x\]
Luego, calculamos la segunda derivada de la misma manera.
\[f''(x)=48\cdot x^2-8\]
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