El cociente diferencial en un punto

Diferenciación: La derivada

El cociente diferencial en un punto

Mediante el cociente diferencial, podemos aproximarnos al cambio en un punto de una gráfica.

Queremos aproximar el cambio en el punto $\green{x}=\green{2}$ para la función $\blue{f(x)}=\blue{x^2}$ . Para hacerlo, tomamos el cociente diferencial en un intervalo alrededor de $\green{2}$ : $[\green{2},\green{2}+\orange{h}],$

donde elegimos una $\orange{h}$ cada vez menor.

Cuanto menor sea la $\orange{h}$ que elegimos, mejor podremos ver el cambio en el punto. Vemos que estos valores se acercan cada vez más a $4$ a medida que elegimos valores de $\orange{h}$ menores. El cambio en un punto también se denomina pendiente.

Podemos aproximar el cambio en un punto $x=a$ de cada función determinando el cociente diferencial en el intervalo $[a,a+h]$ .

El cociente diferencial en un intervalo de longitud h

Para una función $\blue{f}$ , el cociente diferencial en el punto $\green{x}=\green{a}$ con una diferencia $\orange{h}$ se define de la siguiente manera:

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{f(\green{a}+\orange{h})-f(\green{a})}{\orange{h}}$

Podemos dejar $\orange{h}$ como está en nuestro cálculo.

Ejemplo

$\blue{f(x)}=\blue{x^2}$ y $\green{a}=\green{4}$ nos dan:

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{(\green{4}+\orange{h})^2-\green{4}^2}{\orange{h}}\\&=& \dfrac{16+8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2-16}{\orange{h}} \\&=& \dfrac{8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2 }{\orange{h}} \\&=& 8+\orange{h}\end{array}$

Proporciona el cociente diferencial en el punto $x=3$ con una diferencia $h$ de la función $f(x)=3 x + 1$ . Simplifica tu respuesta tanto como sea posible.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=$ $3$

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de cociente diferencial en }x=3 }\\&=&\dfrac{3\cdot(3+h)+1-(3\cdot3+1)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{3 \text{ se introduce en }f}\\ &=&\dfrac{9+3\cdot h -9}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se expanden los paréntesis}}\\&=&\dfrac{3\cdot h}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se suma}}\\&=&3\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se elimina }h}\end{array}$

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