Diferenciación: La derivada
El cociente diferencial
El cambio desempeña un papel importante en el estudio de las matemáticas y, en particular, en el estudio de las funciones. En el siguiente ejemplo, examinamos la tasa de cambio promedio en un intervalo determinado.
Calculamos la tasa de cambio promedio en el intervalo #[2,4]# de la función #f(x)=2x-2#.
El cambio horizontal #\blue{\Delta x}# es: \[\blue{\Delta x} = 4 - 2 = \blue{2}\] El cambio vertical #\green{\Delta y}# es: \[\green{\Delta y} = f(4)-f(2)=6 - 2 = \green{4}\] Por lo tanto, la tasa de cambio promedio es:
\[\frac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}} = \frac{\green{4}}{\blue{2}}=2\]
Observa que la notación #[a,b]# para un intervalo también se puede usar para las coordenadas.
La tasa de cambio promedio en un intervalo también se conoce como cociente diferencial.
Cociente diferencial
El cociente diferencial de una función #f# en un intervalo #[a,b]# es dado por:
\[\dfrac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}}=\dfrac{\green{f(b)-f(a)}}{\blue{b-a}}\]
#\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=&\dfrac{f(5)-f(1)}{5-1}\\&&\phantom{xxx}\blue{a=1 \text{ y }b= 5}\\
&=&\dfrac{(1\cdot 5^3+1\cdot 5 + 4)-(1\cdot1^3+1\cdot1 + 4)}{5-1}\\&&\phantom{xxx}\blue{x=1 \text{ y } x=5 \text{ se sustituyeron en } f}\\ &=& \dfrac{128}{4}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se sumó}}\\ &=&32\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se dividió}}\end{array}#
Or visit omptest.org if jou are taking an OMPT exam.
