La regla de la cadena

Diferenciación: Regla de la cadena

La regla de la cadena

También podemos denominar cadena a una composición de funciones. La regla de la cadena nos brinda una forma de calcular la derivada de una función compuesta.

La regla de la cadena para la diferenciación

Para una función compuesta #f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}#, se aplica lo siguiente:

\[\begin{array}{c}
f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)}
\end{array}\]

Ejemplo\[\begin{array}{rcl}f(x)&=&\blue{(\green{x^2-5x})^4} \\
f'(x) &=& \orange{4(\green{x^2-5x})^3} \cdot \purple{(2x-5)}
\end{array}\]

Presentaremos un bosquejo aproximado de la demostración de la regla de la cadena. Escribimos #\epsilon# para la diferencia, en lugar de #h#, con el fin de que no haya confusión entre #h# y #h(x)#.

\[\begin{array}{rcl}
f'(x)&=&\displaystyle\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{definición de derivada}}\\
&=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\\
&&\phantom{xx}\blue{f(x)=g(h(x))\text{ se completa}}\\
&=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{se multiplica con }1=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}}\\
&=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{se intercambian los denominadores}}\\
\end{array}\]

Por definición, tenemos #h'(x)=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}#. Demostrar que #\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}# es igual a #g'h(x)# es más difícil. Usaremos, sin mayor explicación, el hecho de que si #\epsilon# se acerca a cero, la diferencia #h(x+\epsilon)-h(x)# también se acerca a cero. Esto significa que podemos observar #h(x)+\epsilon# en lugar de #h(x+\epsilon)#, ya que si dejamos que #\epsilon# se acerque arbitrariamente a #0#, esto en realidad no tiene importancia. Ahora tenemos que

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}&=&\dfrac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{h(x)+\epsilon-h(x)}\\
&&\phantom{xx}\blue{h(x+\epsilon)\text{ se reemplaza por }h(x)+\epsilon}\\
&=&\dfrac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{\epsilon}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{se simplifica}}\\
&=&g'(h(x))\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{definición de derivada, con }h(x)\text{ como variable}}
\end{array}\]

Ahora vemos que efectivamente #f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)# si #f(x)=g(h(x))#.

Para usar la regla de la cadena, podemos usar esta guía paso a paso.

Regla de la cadena de la guía paso a paso	Paso a paso	Ejemplo
	Determina la derivada de una función que se compone de varias funciones: #f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}#.	#\qqquad \begin{array}{rcl} f(x)\phantom{'}&=&(x^2-1)^3\end{array}#
Paso 1	Distingue las funciones más simples #\blue{g(x)}# y #\green{h(x)}# de las cuales se compone #f(x)#.	#\qqquad\begin{array}{rcl}\blue{g(x)}\phantom{'}&=&\blue{x^3}\\ \green{h(x)}\phantom{'}&=&\green{x^2-1}\end{array}#
Paso 2	Determina las derivadas #\orange{g'(x)}# y #\purple{h'(x)}#.	#\qqquad\begin{array}{rcl}\orange{g'(x)}&=&\orange{3x^2}\\ \purple{h'(x)}&=&\purple{2x}\end{array}#
Paso 3	Calcula la derivada de #f# con la fórmula: \[\begin{array}{c} f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)} \end{array}\]	#\qqquad \begin{array}{rcl} f'(x)&=& \orange{3(\green{x^2-1})^2}\cdot \purple{2x}\\&=&(3x^4-6x^2+3)\cdot \purple{2x}\\&=& 6x^5-12x^3+6x\end{array}#

Calcula la derivada #f'(x)# para #f(x)=# #\sqrt{3-x^4}#.

#f'(x)=# #-{{2\cdot x^3}\over{\sqrt{3-x^4}}}#

Paso 1	Distinguimos las funciones más simples #g(a)# y #h(x)# que componen #f(x)#. En otras palabras, las funciones para las que #f(x)=g(h(x))#. #\begin{array}{rcl} g(x)&=&\displaystyle \sqrt{x}\\ h(x)&=& \displaystyle3-x^4\end{array}#
Paso 2	Calculamos las derivadas #g'(x)# y #h'(x)#. #\begin{array}{rcl} g'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de derivada}}\\ &=& \displaystyle{{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la potencia}}\end{array}# #\begin{array}{rcl} h'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(3-x^4\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de derivada}}\\ &=& \displaystyle-4\cdot x^3\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la suma y regla de la potencia}}\end{array}#
Paso 3	Calculamos la derivada #f'(x)#. #\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=& \displaystyle g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la cadena}}\\ &=& \displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{h\left(x\right)}}}\cdot -4\cdot x^3\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se sustituye }g' \text{ y }h'}\\ &=& \displaystyle\displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{3-x^4}}} \cdot (-4\cdot x^3)\\ &&\phantom{xxx}\blue{h(x)\text{ se sustituye}}\\ &=& \displaystyle -{{2\cdot x^3}\over{\sqrt{3-x^4}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplifica}} \end{array}#

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