Diferenciación: Regla de la suma y de multiplicación
La regla de la suma
Cuando diferenciamos las funciones de potencia, vimos que podemos factorizar un factor constante. En general, podemos hacerlo cuando diferenciamos funciones de la forma #\orange{c}\cdot \blue{f}#.
La regla constante
Para una constante #\orange{c}# y una función #\blue {f}#, lo siguiente es cierto:
\[ \dfrac{\dd}{\dd x}\left(\orange{c}\cdot \blue{f(x)}\right)=\orange{c}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\]
Ejemplo
\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\green{\orange{3}\blue{x^3}} \right)&=&\orange{3}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x^3} \\ &=& \orange{3}\cdot 3x^2 \\ &=& 9x^2\end{array}\]
También podemos tomar la suma de dos funciones. La regla de la suma nos dice cuál es la derivada de la suma de dos funciones.
Para la suma de dos funciones #\blue{f(x)}# y #\green{g(x)}#, la regla de la suma se cumple:
\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{f(x)}+\green{g(x)}) =\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{g(x)}\]
Ejemplo
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{x}+\green{x^2})&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{x^2}\\&=&1+2x\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{7}\cdot x^8+7\cdot \sqrt{x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de derivada}}\\
&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{7}\cdot x^8\right)+\frac{\dd}{\dd x}\left(7\cdot \sqrt{x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la suma }\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right)=\frac{\dd}{\dd x}f(x)+\frac{\dd}{\dd x}g(x)}\\
&=&\displaystyle \sqrt{7}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{8}\right)+7\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{{{{1}\over{2}}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla constante }\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)=c\cdot\frac{\dd}{\dd x}f(x)\text{ y }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\
&=&\displaystyle \sqrt{7}\cdot\left(8\cdot x^{{7}}\right)+7\cdot\left({{1}\over{2}}\cdot x^{{-{{1}\over{2}}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la potencia }\frac{\dd}{\dd x}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}}\\
&=&\displaystyle\sqrt{7}\cdot\left(8\cdot x^7\right)+7\cdot\left({{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{términos con }x\text{ se reescriben}}\\
&=&\displaystyle 8\cdot \sqrt{7}\cdot x^7+{{7}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplifica}}\\
\end{array}#
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