La derivada de las funciones trigonométricas

Diferenciación: La derivada de las funciones estándares

La derivada de las funciones trigonométricas

Existen reglas para determinar la derivada de las funciones trigonométricas #\blue{\sin}(x), \green{\cos}(x)# y #\purple{\tan}(x)#. Estas reglas solo se aplican a funciones trigonométricas en radianes.

La derivada del seno

\[\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{\sin}(x)=\green{\cos}(x)\]

Ejemplo

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\blue{\sin}(x))=3\cdot\green{\cos}(x)\]

La derivada del coseno

\[\dfrac{\dd}{\dd x}\green{\cos}(x)=-\blue{\sin}(x)\]

Ejemplo

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(4\cdot\green{\cos}(x))=-4\cdot\blue{\sin}(x)\]

Podemos escribir la derivada de la tangente de dos maneras.

La derivada de la tangente

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\purple{\tan}(x)&=&\dfrac{1}{\green{\cos}(x) ^2}\\\dfrac{\dd}{\dd x}\purple{\tan}(x)&=&1+\purple{\tan} (x)^2\end{array}\]

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\purple{\tan}(x))&=&\dfrac{3}{\green{\cos}(x)^2}\\\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\purple{\tan}(x))&=&3+3\cdot\purple{\tan}(x)^2\end{array}\]

En el capítulo de funciones trigonométricas, observamos que #\tan(x)# se define como #\frac{\sin(x)}{\cos(x)}#. Ahora que conocemos las derivadas de #\sin(x)# y #\cos(x)#, podemos determinar la derivada de #\tan(x)# mediante la regla del cociente, de la que hablaremos más adelante.

En una demostración alternativa se hace uso de la regla de multiplicación y la regla de la cadena. Escribimos \[f(x)=\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)}\] La regla de multiplicación nos da \[f'(x)=\cos(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)} + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'\] Podemos calcular la derivada #\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'# escribiendo #\dfrac{1}{\cos(x)}# como la composición de #\dfrac{1}{x}# y #\cos(x)#. Al aplicar la regla de la cadena, se obtiene \[\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'= -\dfrac{1}{\cos(x)^2}\cdot (-\sin(x))=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}\] Ahora determinamos la demostración: \[f'(x)=1 + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}=1+\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=1+\tan(x)^2\]

Es fácil ver que ambas expresiones son iguales. Definimos #\tan(x)# como \[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\] Al elevar al cuadrado obtenemos \[\tan(x)^2=\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}\] Al usar la identidad #\sin(x)^2+\cos(x)^2=1#, podemos reescribir esto como \[\tan(x)^2=\dfrac{1-\cos(x)^2}{\cos(x)^2}=\dfrac{1}{\cos(x)^2}-1\] Agregamos #1# a ambos lados para conseguir la igualdad: \[1+\tan(x)^2=\dfrac{1}{\cos(x)^2}\]

Para calcular las derivadas de funciones trigonométricas, a menudo necesitamos la regla de multiplicación y la regla de la suma. También podemos usar la regla de la cadena para encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas.

Determina la derivada de la función #5-5\cdot \cos \left(x\right)#.

#\frac{\dd}{\dd x} \left(5-5\cdot \cos \left(x\right)\right) =# # 5\cdot \sin \left(x\right)#

\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dd}{\dd x} \left(5-5\cdot \cos \left(x\right)\right) &=&\displaystyle \frac{\dd}{\dd x} \left(-5 \cdot\cos(x)\right) +\frac{\dd}{\dd x} \left(5\right) \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la suma}}\\
&=& \displaystyle-5 \cdot \frac{\dd}{\dd x} \left(\cos(x)\right) +0 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la regla constante y la derivada de la constante es }0}\\
&=& \displaystyle5\cdot \sin \left(x\right) \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la derivada de }\cos(x)\text{ es }-\sin \left(x\right)}\\
\end{array}\]

Nuevo ejemplo