La derivada de las funciones de potencia

Diferenciación: La derivada de las funciones de potencia

La derivada de las funciones de potencia

En la práctica, no calculamos derivadas una y otra vez usando la definición de la derivada, sino que usamos reglas de cálculo para calcularla directamente. Ahora veamos primero la derivada de una función de potencia.

Regla de la potencia

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{n})=\blue{n}\cdot x^{\blue{n}-1}\]

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(x^\blue{5})&=&\blue{5}\cdot x^{\blue{5}-1}\\&=&\blue{5}x^4\end{array}\]

Derivada de la raíz
\[\dfrac{\dd}{\dd x}\sqrt{x}=\dfrac{\dd}{\dd x}x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Demostración

Mediante la definición de la derivada, encontramos #f(x)=x^n#, donde #n# es un número entero positivo, para una función de potencia:

\[f'(x)=\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h} \text{ donde } h \to 0\]

Ahora expandimos los paréntesis:

\[\dfrac{x^n+ n\cdot x^{n-1}\cdot h + \ldots n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^n-x^n}{h}\]

Los términos #x^n# cancelan:

\[\dfrac{n\cdot x^{n-1}\cdot h + \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}h^2 + \ldots + n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^n}{h}\]

Podemos escribir esto sin una fracción:

\[n\cdot x^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}\cdot h + \ldots + n\cdot x\cdot h^{n-2}+h^{n-1}\]

Cuando dejamos que #h# se aproxime a cero, solo queda un término: el término sin #h#. Por lo tanto, la derivada de #f# es:

\[f'(x)=n\cdot x^{n-1}\]

La demostración donde #n# no es un número entero positivo es más avanzada y no se tratará aquí.

Si tenemos una función de potencia con una constante delante, podemos factorizar fácilmente la constante.

Regla de la potencia con una constante

\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^\blue{n})=\orange{c}\cdot\blue{n} \cdot x^{\blue{n}-1}\]

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(\orange{2}\cdot x^\blue{-3})&=&\orange{2}\cdot\blue{-3}\cdot x^{\blue{-3}-1}\\&=&-6x^{-4}\end{array}\]

Derivada de una constante

La derivada de una constante #\orange{c}# es igual a #0#. Podemos mostrarlo mediante #1=x^0# y #\orange{c}=\orange{c}\cdot 1#. Esto se realiza de la siguiente manera:

\[\frac{\dd}{\dd x}\orange{c}=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot 1)=\frac{\dd}{\dd x}(\orange{c}\cdot x^0)=\orange{c}\cdot 0 \cdot x^{-1} = 0\]

Calcula #\frac{\dd y}{\dd x}# para \(y = 6\cdot x^3 \). Simplifica tu respuesta tanto como sea posible y escríbela sin exponentes negativos.

#\frac{\dd y}{\dd x}=# #18\cdot x^2#

\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \dfrac{\dd y}{\dd x}&=& \displaystyle \dfrac{\dd}{\dd x}\left( 6\cdot x^3 \right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{y \text{ se sustituye}}\\

& =& \displaystyle 6 \cdot 3 \cdot x^{2}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de la potencia con una constante, }\dfrac{\dd}{\dd x}\left (c \cdot x^n\right)=c \cdot n \cdot x^{n-1}}\\
& =&\displaystyle 18\cdot x^2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplifica}}
\end{array}\]

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