La noción de la derivada

Diferenciación: La derivada

La noción de la derivada

La derivada es una función que indica cuál es la pendiente para cada punto #x#. En otras palabras, una función que asigna la pendiente de la línea tangente a un punto #x#.

La pendiente

La pendiente de una función #\blue{f}# en un punto #a# se puede encontrar calculando el cociente diferencial de #[a,a+\orange{h}]# y dejando que #\orange{h}# se aproxime a cero. Escribimos esto de la siguiente manera:

\[\orange{h}\to0\]

Si no determinamos el cociente diferencial en un punto sino para una variable # x #, obtenemos la derivada #\blue{f}#. Denotamos la derivada con #\green{f'}#.

Para el ejemplo de la derecha, solo se indica en el penúltimo paso que #\orange{h} \to 0#. Sin embargo, esto debería indicarse en cada paso, pero lo hemos omitido por conveniencia.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}
\blue{f(x)}&=&\blue{x^2} \\
\green{f'(x)}&=&\dfrac{\blue{(}x+\orange{h}\blue{)^2}-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{\blue{x^2}+2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2}{\orange{h}}\\&=&2x+\orange{h} \quad \text{con} \quad \orange{h} \to 0\\&=& \green{2x} \end{array}\]

Denominamos #f'# a la derivada de #f#.

La derivada

La derivada de una función #\blue{f}# se denota como #f'#:

\[f'(x)=\dfrac{\blue{f(}x+\orange{h}\blue{)}-\blue{f(}x\blue{)}}{\orange{h}} \quad \text{con} \quad \orange{h}\to 0\]

El cálculo de la derivada de una función #f# se denomina diferenciación de #f#.

No todas las funciones se pueden diferenciar. Una función de la que podemos determinar la derivada se denomina función diferenciable. En este curso solo se tratarán las funciones que son diferenciables.

Cuando escribimos #\frac{\dd}{\dd x}f# o #\frac{\dd f}{\dd x}#, queremos decir #f'#; estos tres significan lo mismo.

plaatje

Nos fijamos principalmente en la derivación de una función de la forma #f(x)=...#. Por supuesto, también podemos derivar funciones con otra variable, como #g(t)# o #h(y)#. Entonces obtenemos, respectivamente,

\[\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)\right)\\
g'(t)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd t}\left(g(t)\right)\\
h'(y)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd y}\left(h(y)\right)\end{array}\]

En palabras Por lo tanto, podemos calcular la derivada calculando primero el cociente diferencial en un intervalo con longitud #\orange{h}# y, luego, dejando que #\orange{h}# pase a cero. El valor que obtendremos con esto es la pendiente de la gráfica en #x#. En otras palabras, la pendiente de la línea tangente en el punto #x#.

Un ejemplo de una función no diferenciable es la función de valor absoluto #\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}#. Esta es la función que tiene un valor #x# si #x# es mayor o igual que #0#, y tiene un valor #-x# si #x# es menor que #0#.

Esta función no es diferenciable en el punto #0#, ya que no podemos encontrar una definición inequívoca para la línea tangente. En la imagen hemos dibujado la gráfica de la función #\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}# y dos posibles líneas tangentes.

Plaatje

El valor de la derivada La derivada en un punto #a# es dada por #f'(a)#. También se le llama el valor de la derivada en #a#, o simplemente la derivada en #a#. Es la pendiente de la función en el punto #a#

Calcula la derivada de #f(x)=5x^3+2x#.

#15x^2+2#

Para #h \to 0#, encontramos que:
\[\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ && \blue{\text{definición de derivada}}\\ &=& \dfrac{5(x+h)^3 + 2(x+h) - (5x^3+2x)}{h}\\ &&\blue{\text{se sustituye}}\\ &=& \dfrac{5x^3 + 15x^2\cdot h + 15x\cdot h^2 + 5h^3 + 2x + 2h -5x^3-2x}{h} \\ && \blue{\text{se expanden los paréntesis}}\\&=& \dfrac{15x^2\cdot h + 15x\cdot h^2 + 5h^3 +2h }{h} \\&&\blue{5x^3 \text{ y } -5x^3, \text{ y }2x \text{ y } -2x \text{ se anulan entre sí}}\\ &=& 15x^2 + 15x\cdot h + 5h^2 +2 \\ &&\blue{\text{se elimina }h} \\&=& 15x^2 + 2
\\ && \blue{\text{se deja que }h \text{ se aproxime a }0}\end{array}\]

Nuevo ejemplo