Cuando tenemos una función #g(x)#, no necesariamente tenemos que sustituir una variable o un número por #x#. En su lugar, también podemos sustituir una expresión o una función #h(x)# para #x#.
Si sustituimos la función #\green{h(x)}# para #x# en la función #\blue{g(x)}#, obtenemos una nueva función \[f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\] Esta nueva función se denomina la composición de #\blue{g}# y #\green{h}#.
Ejemplo
#\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}# y #\green{h(x)}=\green{x+3}# nos dan:
\[f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}\]
Las composiciones #\blue{g(\green{h(x)})}# y #\green{h( \blue{g(x)})}# no suelen ser equivalentes entre sí. Por ejemplo, podemos elegir #\blue{x^2}# y #\green{x+1}#. Esto nos da:
\[\begin{array}{crl}\blue{g( \green{h(x)})} &=& \blue{(\green{x+1})^2}=x^2+2x+1\\ \green{h(\blue{g(x)})} &=& x^2+1\end{array}\]
Esto significa que #\blue{g( \green{h(x)})}# y #\green{h( \blue{g(x)})}# son funciones diferentes.
Cuando escribimos #\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}# y #\green{h(x)}=\green{x+3}#, la variable # x # en #\blue{g(x)}# no tiene nada que ver con la variable #x# en #\green{ h(x) }#. La # x # en estas funciones solo tiene significado cuando se combina con # \blue{g(x)}= \ldots# o #\green{ h(x) }= \ldots#. También podríamos escribir #\blue{g(h)} = \blue{\sqrt{h}}#. Ahora # h # es la variable. Independientemente de la variable que utilicemos para #\green{g(x)}#, la fórmula #\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}# aún es válida.
Se señalan #\blue{g(h)}=\blue{h^4}# y #\green{h(x)}=\green{x^2-5x}#. Luego, # f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\left(\green{x^2 - 5x} \right)^{4}} #.
La composición queda de la siguiente manera.
Ten en cuenta que usamos la notación alternativa como se menciona en el subcuadro "Notación".
Es importante poder reconocer estas funciones compuestas y descomponerlas en funciones más sencillas.
\[\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sin(x)}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(x)}=\blue{x^6}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}\]
Podemos evitar la confusión entre diferentes #x# escribiendo la función #g(x)# como #g(h)#. Al hacer esto, los ejemplos anteriores se pueden reescribir como:
\[\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sqrt{h}}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sin(h)}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(h)}=\blue{h^6}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}\]
Reconocer estas composiciones es cuestión de práctica.
¿La función \[f(x)=8+\sqrt{x+8}\] se compone de cuál de las funciones #g# y #h#? Es decir, ¿para qué #g# y #h# aplica #f(x)=g(h(x))#?
Funciones compuestas
