La base e y el logaritmo natural

Funciones exponenciales y logaritmos: The base e and the natural logarithm

La base e y el logaritmo natural

El número $\euler\approx 2.71828182846\ldots$ , también llamado número de Euler, es un número importante en matemáticas que tiene bastantes propiedades especiales, como verás más adelante en el capítulo de diferenciación. Hay varias definiciones para $\e$ , aquí daremos una.

El número de Euler definido por una suma de términos infinitos:
$1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots = \orange{\e}$

El número $\e$ puede ser utilizado como la base en una expresión exponencial, $\e^n$ , entonces usamos las reglas para exponentes.

Podemos tomar el número $\e$ como la base de un logaritmo. Este logaritmo se llama logaritmo natural y se denota por $\ln$ .

El logaritmo natural

El logaritmo natural es

$\ln(\blue{x})=\log_\orange{\e}(\blue{x})$

Ejemplo

$\begin{array}{rcl}\\ \ln(\orange{\e}^\blue{x})&=&\blue{x}\\ \end{array}$

Con el logaritmo natural usamos las mismas reglas que con otros logaritmos. Reescribir a diferentes bases numéricas se hace de la misma manera con el logaritmo natural.

Reescribe la siguiente expresión y simplifica en la medida de lo posible.

$\log_6(\e)\cdot\ln(6)$

$1$

$\begin{array}{rcl}\log_6(\e)\cdot\ln(6)&=&\dfrac{\ln(\e)}{\ln(6)}\cdot\ln(6)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\log_a\left(x\right)=\dfrac{\log_b\left(x\right)}{\log_b\left(a\right)}}\\ &=&\ln\left(\e\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplifica}}\\ &=&1\\ &&\phantom{xxx}\blue{\ln(\e)=1} \end{array}$

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