La función exponencial

Funciones exponenciales y logaritmos: Funciones exponenciales

La función exponencial

Llamamos a una función de la forma \[f(x)=\blue{a}^x\] con #\blue{a}>0# una función exponencial.

La gráfica es asintótica al eje #x#. No importa lo cerca que vayas, #\blue{a}^x# nunca será igual a #0.#

Según el valor de #\blue{a}#, la gráfica es creciente o decreciente. Si #\blue{a}>1#, la gráfica es creciente. Si #0<\blue{a}<1#, la gráfica es decreciente.

Observamos que todo el eje #x# es dominio de la función exponencial y el rango es solo el eje #y# positivo.

geogebra plaatje

Tablero de ajedrez
Para números mayores que #1#, la función exponencial es una función que crece rápidamente. Hay una bonita leyenda que lo ilustra bien: alrededor del año 500, se inventó el ajedrez en la India. El rey quiso agradecer al inventor del juego y le prometió una recompensa de su propia elección.

El inventor tuvo la siguiente idea: por la primera casilla quiso #1# grano de arroz, por la segunda casilla pidió #2#, y por la tercera, #4#, etcétera. El rey casi se sintió insultado, porque pensó que el hombre pedía una recompensa demasiado pequeña.

Sin embargo, cuando los miembros de la corte del rey comenzaron a calcular cuántos granos de arroz recibiría el hombre, el rey descubrió que la recompensa era bastante grande. La cantidad total de granos de arroz, que es

\[2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{62}+2^{63}=18446744073709551615,\]

y que pasó a ser más que la producción mundial de arroz.

a=1
Una excepción a las propiedades de la función exponencial descrita anteriormente es #\blue{a}=1#. Esta gráfica no es ni decreciente ni creciente. El rango tampoco es todo el eje #y#, solo #y=1#.

Reglas
Al calcular con funciones exponenciales, a menudo usamos las reglas descritas en Cálculo con exponentes enteros, así que asegúrate de revisarlas. Por ejemplo: \[\blue{2}^\orange{x}\cdot\blue{2}^\purple{x+4}=\blue{2}^{\orange{x}+\purple{x+4}}=\blue{2}^{2x+4}.\]

Indica cuál de las siguientes es una función exponencial.

#f(x)=\sqrt{x}#

#f(x)=x^7#

#f(x)=4^x#

#f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x#