Funciones exponenciales y logaritmos: Funciones logarítmicas
La función logarítmica
Anteriormente, echamos un vistazo a las funciones exponenciales. Ahora echaremos un vistazo a los logaritmos. El logaritmo puede verse como el inverso, u opuesto, de la función exponencial. Tomemos la función #\blue{a}^x#; puede ser interesante resolver la #x# en la ecuación #\blue{a}^x=\green{b}#. Al resolver esta ecuación, usaremos el logaritmo.
Logaritmo
El número #\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)# es el exponente al que hay que elevar el número #\blue{a}# para obtener #\green{b}#. A esto lo llamamos logaritmo. Por lo tanto,
\[\begin{array}{lcr}\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)=x&\text{ da }&\blue{a}^x=\green{b}\end{array}\]
El número #\blue{a}# se llama base del logaritmo. El número #\blue{a}# tiene que ser positivo y no igual a #1#, el número #\green{b}# tiene que ser positivo.
Ejemplos
\[\begin{array}{lcrl}\log_{\blue{2}}\left(\green{8}\right)&=&3&\text{porque }\blue{2}^3=\green{8} \\ \log_{\blue{4}}\left(\green{\frac{1}{16}}\right)&=&-2&\text{porque }\blue{4}^{-2}=\green{\frac{1}{16}} \\ \log_{\blue{5}}\left(\green{\sqrt{5}}\right)&=&\frac{1}{2}&\text{porque }\blue{5}^{\frac{1}{2}}=\green{\sqrt{5}} \\ \end{array}\]
Podemos derivar dos reglas importantes de la definición de logaritmo.
\[\begin{array}{rcl}\blue{a}^{\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)}&=&\green{b}\end{array}\]
Ejemplo
\[\begin{array}{lccr}\blue{3}^{\log_{\blue{3}}\left(\green{9}\right)}&=&\green{9}\end{array}\]
\[\begin{array}{rcl}\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^{\green{b}}\right)&=&\green{b}\end{array}\]
Ejemplo
\[\begin{array}{lccrr}\log_{\blue{a}}\left(1\right)&=&\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^\green{0}\right)&=&\green{0}\end{array}\]
# \begin{array}{rcl}
\log_{5}\left(125\right)&=&\log_{5}\left(5^3 \right)\\
&&\quad \blue{\text{identifica }x\text{ tal que }5^x=125}\\
&=& 3\\
&&\quad \blue{\log_{a}\left(a^b\right)=b}
\end{array} #
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