Transformaciones de funciones trigonométricas

Trigonometría: Funciones trigonométricas

Transformaciones de funciones trigonométricas

Hemos visto cómo se ven las leyes estándar del seno y el coseno. También podemos transformar estas funciones.

Transformaciones

Podemos transformar las funciones #f(x)=\sin(x)# y #g(x)=\cos(x)# de cuatro maneras. Las mostraremos usando la función seno, pero el coseno funciona de la misma manera.

	Transformaciones	Ejemplos
1	Desplazamos la gráfica de #f(x)=\sin(x)# hacia arriba en #\green q#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\sin(x)+\green q\] El periodo y la amplitud de la función siguen siendo los mismos, pero el equilibrio se vuelve igual a #\green q#.	Plaatje desplazamiento vertical
2	Desplazamos la gráfica de #f(x)=\sin(x)# a la derecha en #\blue p#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\sin\left(x-\blue p\right)\] El periodo, la amplitud y el equilibrio siguen siendo los mismos. Llamamos a #\blue p# el desplazamiento de fase.	Plaatje desplazamiento horizontal
3	Multiplicamos la gráfica de #f(x)=\sin(x)# por #\purple a# relativa al eje #x#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\purple a \sin(x)\] El periodo y el equilibrio siguen siendo los mismos, pero la amplitud se vuelve igual a #\purple{\left\| a \right\|}#. Cuando #\purple a \lt 0#, la gráfica se invierte. Esto significa que primero cae en lugar de subir. Si #\purple a =- 1#, la nueva función es una reflexión de la antigua función a través del eje #x#.	Plaatje vermenigvuldiging x-as
4	Multiplicamos la gráfica de #f(x)=\sin(x)# por #\orange b# relativa al eje #y#. Esto significa que reemplazamos #x# con #\frac{1}{\orange b}x#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\sin\left(\frac{1}{\orange b}x\right)\] El equilibrio y la amplitud siguen siendo los mismos, pero el periodo se vuelve igual a #\orange b \cdot 2 \pi#.	Plaatje vermenigvuldiging #y#-as.

Más transformaciones

También podemos realizar múltiples transformaciones en sucesión.

Por ejemplo: #f(x)=\purple3 \sin(\left(x-\blue4\right)# es al principio un desplazamiento a la derecha en #\blue4#, y posteriormente una multiplicación por #\purple3# relativa al eje #x# de la función trigonométrica #f(x)=\sin(x)#.

Función seno y coseno de composición

La función seno estándar tiene la forma #f(x)=\purple a \sin(\tfrac{1}{\orange b}(x-\blue p))+\green q#.

Esta función tiene periodo #\orange b \cdot 2 \pi#, amplitud #\purple a#, equilibrio #\green q# y desplazamiento de fase #\blue p#. Esto último significa que con un seno #x=\blue p# asciende por el equilibrio.

Lo mismo se aplica a la función coseno. La función coseno estándar es #f(x)=\purple a \cos(\tfrac{1}{\orange b}(x-\blue p))+\green q#.

Esta función tiene periodo #\orange b \cdot 2 \pi#, amplitud #\purple a#, equilibrio #\green q# y desplazamiento de fase #\blue p#. Esto último significa que con un coseno #x=\blue p# tiene una parte superior con un valor #y# positivo.

Observamos que podemos obtener el coseno al trasladar el seno. Antes, vimos que \[\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})\]

Fíjate otra vez en las dos gráficas.

La fórmula de la gráfica azul es:
\[y=\cos \left(x\right)\]
¿Cuál es la fórmula de la gráfica verde?

#y=# #\cos \left(x-2\right)#

En el paso 1, vimos que la gráfica verde se obtiene al desplazar la gráfica azul #2# unidades a la derecha. Por lo tanto, reemplazamos todas las apariciones de #x# en la fórmula de la gráfica azul #y=\cos \left(x\right)# por #x-2#. Esto nos da la siguiente fórmula para la gráfica verde:
\[y=\cos \left(x-2\right)\]

Nuevo ejemplo