Funciones trigonométricas inversas

Trigonometría: Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas

Hemos visto que el seno, el coseno y la tangente son funciones periódicas. Por lo tanto, si queremos resolver la ecuación #\sin(x)=\tfrac{1}{2}#, encontraremos infinitas soluciones. Ahora restringiremos el dominio de las funciones para que podamos definir una función inversa. Esta función inversa puede ayudarnos a resolver ecuaciones.

Función inversa seno, coseno y tangente

Definimos las funciones inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl} \blue x=\arcsin(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\sin(\blue x) \;\text{ y }\; -\frac{\pi}{2} \leq \blue x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ \blue x=\arccos(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\cos(\blue x) \;\text{ y }\; 0 \leq \blue x \leq \pi \\ \\ \blue x=\arctan(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\tan(\blue x) \;\text{ y }\; -\frac{\pi}{2} \lt \blue x \lt \frac{\pi}{2}\end{array}\]

Ejemplo

#\arcsin\left(\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \blue{\frac{\pi}{4}}#

porque

#\sin\left(\blue{\frac{\pi}{4}}\right)=\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}# y #-\frac{\pi}{2} \leq \blue{\frac{\pi}{4}} \leq \frac{\pi}{2}#

Calculadora

En tu calculadora, los botones #\arcsin#, #\arccos# y #\arctan# a menudo se les llama #\sin^{-1}#, #\cos^{-1}# y #\tan^{-1}#. En este curso, esta notación no se utiliza para evitar confusiones con #\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)# (cosecante), #\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)# (secante) y #\frac{1}{\tan(x)}#.

Propiedades del arcoseno, arcocoseno y arcotangente

La función #f(x)=\arcsin(x)# posee

dominio: #\ivcc{-1}{1}#
rango: #\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#

La gráfica es la reflexión de #f(x)=\sin(x)# en el dominio #\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}# a través de la recta #y=x#.

Plaatje

La función #f(x)=\arccos(x)# posee

dominio: #\ivcc{-1}{1}#
rango: #\ivcc{0}{\pi}#

La gráfica es la reflexión de #f(x)=\cos(x)# en el dominio #\ivcc{0}{\pi}# a través de la recta #y=x#.

plaatje

La función #f(x)=\arctan(x)# posee

dominio: todos los valores de #x#
rango: #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#

Las asíntotas horizontales de la gráfica son #y=-\frac{\pi}{2}# y #y=\frac{\pi}{2}# y la gráfica es la reflexión de #f(x)=\tan(x)# en el dominio #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}# a través de la recta #y=x#.

plaatje

Enlazar arcoseno y arcocoseno

Cuando observamos bien las gráficas de #f(x)=\arcsin(x)# y #f(x)=\arccos(x)#, veremos:

\[\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin(x) \text{ for } -1\le x\le 1\]

Esto es porque #f(x)=\sin(x)# y #f(x)=\cos(x)# comparten la misma gráfica, solo desplazado por #\frac{\pi}{2}#.

Determina #\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)# en radianes.

#\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=# \(\dfrac{\pi}{3}\)

Porque, #\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}# y #-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{3}\leq\dfrac{\pi}{2}#.

Nuevo ejemplo