Hasta ahora hemos expresado los ángulos en grados, pero en matemáticas los ángulos a menudo se expresan en radianes. Para introducir radianes utilizaremos un círculo con radio #1#. A esto lo llamamos círculo unitario.
El círculo unitario es un círculo con centro en el origen #\rv{0,0}# y radio #1#.
El punto #P=\rv{\blue{x_P}, \purple{y_P}}# empieza en #\rv{1,0}# y se mueve en sentido antihorario a través del círculo unitario. El ángulo de rotación se llama #\green{\alpha}#.
Por lo tanto #\sin(\green{\alpha})=\purple{y_P}# y #\cos(\green{\alpha})=\blue{x_P}#.
De esta forma también podemos definir ángulos mayores a #90^\circ# grados con el seno y el coseno.
Una propiedad muy útil para todos los ángulos #\green{\alpha}# en grados, es la siguiente:
\[\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1\]
Usando el círculo unitario y el teorema de Pitágoras podemos deducir esta propiedad. En el círculo unitario tenemos el triángulo rectángulo con catetos #\purple{y_p}=\sin(\green{\alpha})# y #\blue{x_p}=\cos(\green{\alpha})#, y la hipotenusa con longitud #1#. Por el teorema de Pitágoras ahora tenemos
\[\purple{y_p}^2+\blue{x_p}^2=1\]
y por lo tanto
\[\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1\]
Ejemplos
\[\begin{array}{rcl}\sin(\green{60^\circ})^2+\cos(\green{60^\circ})^2&=& \\ \left(\purple{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{\frac{1}{2}}\right)^2 &=&\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}&=&\\1 \\ \\ \sin(\green{225^\circ})^2+\cos(\green{225^\circ})^2&=&\\ \left(\purple{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2&=&\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&\\1 \end{array}\]
Con este círculo unitario ahora podemos expresar el tamaño del ángulo en radianes.
El tamaño del ángulo #\green{\alpha}# en el círculo unitario en radianes es la longitud del arco en el círculo unitario.
La longitud de todo el arco es #2 \pi#. Por lo tanto, un ángulo de #360^\circ# es igual a #2 \pi# radianes.
Un ángulo #\green{\alpha}# en grados mide #\tfrac{\green{\alpha}}{180}\cdot\pi# radianes.
El ángulo de #30# grados mide #\tfrac{\green{30}}{180}\cdot\pi = \tfrac 16 \pi#.
Un ángulo #\green{\alpha}# en radianes mide #180\cdot \tfrac{\green{\alpha}}{\pi}# grados.
El ángulo #\pi# en radianes mide #180 \cdot \tfrac{\green{\pi}}{\pi} = 180# grados
También hay ángulos mayores que #360^\circ# o #2 \pi#. Estos ángulos son más que una rotación completa en el círculo unitario. Entonces la longitud del arco es igual a \[\text{}=2 \pi \cdot \text{nro. de rotaciones completas}+\text{ángulo en el círculo unitario}\]
El coseno y el seno de los ángulos de los que sumamos un múltiplo de #2 \pi# son por lo tanto iguales. Por lo tanto:
\[\begin{array}{c}\sin(\alpha+2 \pi)=\sin(\alpha)\\ \\ \cos(\alpha+2 \pi)=\cos(\alpha) \end{array}\]
Lo mismo se aplica a los ángulos negativos, solo que entonces hacemos rotaciones completas hacia atrás en el círculo unitario.
Ejemplo
\[\begin{array}{rcl}\cos(\tfrac{5}{2}\pi)&=&\cos(\tfrac{1}{2}\pi+2 \pi)\\ &=&\cos(\tfrac{1}{2}\pi)\\ &=&0 \\ \\ \sin(\tfrac{7}{3}\pi)&=&\sin(\tfrac{1}{3}\pi+2 \pi) \\&=& \sin(\tfrac{1}{3}\pi)\\ &=&\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}\]
Cuando trabajamos con ángulos en radianes usando nuestra calculadora, tenemos que configurarla en radianes.
Ten en cuenta que cuando lo hacemos, tu calculadora a menudo dará respuestas como números decimales, mientras que normalmente trabajamos con valores exactos. En la sección Valores especiales de funciones trigonométricas, vamos a echar un vistazo a los valores más importantes.
Al calcular con radianes tenemos, para cada ángulo #\green{\alpha}#, la misma propiedad \[\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1\]
Tenemos el triángulo rectángulo con catetos #\purple{y_p}=\sin(\green{\alpha})# y #\blue{x_p}=\cos(\green{\alpha})#, y la hipotenusa con longitud #1#. Nuevamente la propiedad se sigue por el teorema de Pitágoras.
Por lo tanto, no importa si estamos calculando en grados o en radianes para que se cumpla la propiedad.
Ejemplos
\[\begin{array}{rcl}\sin(\green{\frac{1}{3}\pi})^2+\cos(\green{\frac{1}{3}\pi})^2&=& \\ \left(\purple{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{\frac{1}{2}}\right)^2 &=&\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}&=&\\1 \\ \\ \sin(\green{\frac{5}{4}\pi})^2+\cos(\green{\frac{5}{4}\pi})^2&=&\\ \left(\purple{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2&=&\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&\\1 \end{array}\]
El seno de un ángulo #\alpha#, en radianes o en grados, da la coordenada #y# del punto en el círculo unitario que tiene el ángulo #\alpha# relativo al eje #x#.
El coseno de un ángulo #\alpha#, en radianes o en grados, da la coordenada #x# del punto en el círculo unitario que tiene el ángulo #\alpha# relativo al eje #x#.
¿Cuántos radianes mide un ángulo de #24# grados?
Da tu respuesta en forma de un número decimal con dos dígitos decimales.
#0.42# radianes
Según la teoría, un ángulo de #\alpha# grados mide exactamente #\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180}# radianes.
Para encontrar la respuesta a la pregunta, ingresamos #\alpha=24# en esta expresión:
\[
\dfrac{24\cdot \pi}{180}\approx 0.42\tiny.\]
Ángulos en radianes
