Factorización

Álgebra: Factorización

Factorización

Vimos cómo podemos factorizar una expresión con paréntesis simples. Ahora veremos cómo podemos reescribir una expresión con paréntesis dobles.

Método del producto de sumas

Con el método del producto de sumas, tratamos de escribir la expresión #x^2+\blue{b}\cdot x+\green{c}# como #\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)#.

Para hacerlo, buscamos dos números #\purple{m}# y #\purple{n}# tales que \[\purple{m}+\purple{n}=\blue{b} \text{ y } \purple{m} \cdot \purple{n}=\green{c}\].

Ejemplo

\[\begin{array}{c}x^2+\blue{4}\cdot x+\green{3} = (x+\purple{3}) \cdot (x+\purple{1})\\ \phantom{x} \\ {\text{porque }\;\;\purple3+\purple1=\blue4 \;\;\text{ y }\;\;\purple3 \cdot \purple1 =\green3}\end{array}\]

Más ejemplos

Más ejemplos

\[\begin{array}{rcl}
x^2+\blue5 \cdot x+\green6&=&(x+\purple{2}) \cdot (x+\purple{3}) \\&& \phantom{x}{\text{porque }\purple2+\purple3=\blue5 \text{ y }\purple2 \cdot \purple3 =\green6}\\ \\x^2\blue{-4} \cdot x+\green4&=&(x\purple{-2}) \cdot (x \purple{-2})\\ && \phantom{x}{\text{porque }\purple{-2}+\purple{-2}=\blue{-4} \text{ y }\purple{-2} \cdot \purple{-2} =\green{4}}\end{array}\]

Alcance limitado

Factorizar una expresión #x^2+\blue{b} \cdot x +\green{c}# no siempre es posible. En la práctica, solo buscamos una factorización con números enteros para #\purple{m}# y #\purple{n}#.

Demostración

Anteriormente, vimos el método del producto de binomios:

\[\begin{array}{rcl}\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)&=&x \cdot x + x \cdot \purple{n} + \purple{m} \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n} \\ &=&x^2+\left(\purple{m}+\purple{n}\right) \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n}\end{array}\]

Cuando leemos esto de izquierda a derecha, es decir, \[x^2+\left(\purple{m}+\purple{n}\right) \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n}=\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)\] reconocemos el método del producto de sumas.

El método del producto de sumas es un paso lógico que sigue al método del producto de binomios.

En el siguiente ejemplo, explicaremos cómo podemos encontrar los números correctos para la factorización de #x^2+b \cdot x +c#.

Factoriza la expresión #x^2+x-72#.

#x^2+x-72=# \((x-8)\cdot(x+9)\)

Estamos buscando números #\purple{m}# y #\purple{n}# tales que el polinomio cuadrático #x^2+x-72# se pueda escribir como #(x+\purple{m})\cdot(x+\purple{n})#. Ten en cuenta que #\purple{m}# y #\purple{n}# son intercambiables. Expandiremos los paréntesis y compararemos los resultados con la expresión original:
\[ x^2+(\purple{m}+\purple{n})\cdot x+\purple{m}\cdot \purple{n} = x^2+x-72\tiny\]
La comparación con #x^2+x-72# da \[
\lineqs{\purple{m}+\purple{n} &=& 1\cr \purple{m}\cdot \purple{n} &=& -72}\]Si #\purple{m}# y #\purple{n}# son números enteros, entonces son divisores de #-72#. Comprobaremos todos los divisores posibles #\purple{m}# con #\purple{m}^2\le 72# (ya que entonces cubrimos todas las posibilidades porque #\purple{m}# y #\purple{n}# pueden cambiar de rol) y calcularemos, en cada uno de los casos, la suma de #\purple{m}# y #\purple{n}=\frac{-72}{\purple{m}}#:
\[\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
\purple{m}&\purple{n}&\purple{m}+\purple{n}\\
\hline
1&-72&-71\\ \hline -1&72&71\\ \hline 2&-36&-34\\ \hline -2&36&34\\ \hline 3&-24&-21\\ \hline -3&24&21\\ \hline 4&-18&-14\\ \hline -4&18&14\\ \hline 6&-12&-6\\ \hline -6&12&6\\ \hline 8&-9&-1\\ \hline -8&9&1 \\
\hline
\end{array}\]
La fila de la tabla con #\purple{m}=-8# y #\purple{n}=9# es la única cuya suma sea #1#; por lo tanto, esta es la respuesta:
\[x^2+x-72=(x-8)\cdot(x+9)\tiny.\]

Nuevo ejemplo

Los ejemplos a continuación mostrarán que también hay otras situaciones en las que podemos factorizar. También veremos que a veces podemos combinar el proceso de factorizar con la factorización en paréntesis dobles.

Factoriza tantos factores como sea posible: #c^2+2\cdot c+1#.

Si es aplicable, combina los mismos factores y escríbelos con un exponente.

#\left(c+1\right)^2#

Como el producto de #1# y #1# es igual a #1# y la suma es igual a #2#, lo siguiente es válido:
\[c^2+2\cdot c+1= \left(c+1\right)^2\]

Nuevo ejemplo