Cálculo con exponentes fraccionarios

Álgebra: Cálculo con exponentes y raíces

Cálculo con exponentes fraccionarios

Un exponente fraccionario es una potencia en la que el exponente se puede escribir como una fracción. Una raíz se puede escribir como un exponente fraccionario.

Para #\blue a\geq 0# y un número entero #\orange n \geq 2#, tenemos:

\[\blue a^{\frac{1}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a}\]

Ejemplos

\[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{1}{\orange{2}}}&=& \sqrt{\blue{x}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{1}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x}}\end{array}\]

Para #\blue a \geq 0# y números enteros #\orange n, \purple m \geq 2#, tenemos:

\[\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}\]

Ejemplos

\[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{2}}} &=& \sqrt{\blue{x^\purple{3}}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x^\purple{3}}}\end{array}\]

Esta regla se puede reducir de la primera regla.

\[\begin{array}{rcl}\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}&=& \left(\blue a^\purple m\right)^{\frac{1}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{regla }\sqrt[n]{a}=\blue a^{\frac{1}{n}}}\\&=&\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{regla para exponentes }\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}} \end{array}\]

Para los exponentes fraccionarios, se aplican las mismas reglas que para los exponentes de números enteros.

Elimine los paréntesi y escriba la respuesta en forma de una sola fracción.
\[\left(c^{\frac{1}{6}} \cdot b \cdot a^{-4}\right)^{4}\]
Simplifique tu respuesta tanto como sea posible y escríbala sin ninguna potencia fraccionaria y sin exponentes negativos.

#\dfrac{ \sqrt[3]{c^2} \cdot b^{4}}{a^{16}}#

#\begin{array}{rcl}
\left(c^{\frac{1}{6}} \cdot b \cdot a^{-4}\right)^{4} &=& \left(c^{\frac{1}{6}}\right)^{4} \cdot b^{4} \cdot \left(a^{-4}\right)^{4} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla } \left(a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}} \\
&=& c^{\frac{1}{6} \cdot 4} \cdot b^{4} \cdot a^{-4 \cdot 4} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regla } \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \cdot m}} \\
&=& c^{{{2}\over{3}}} \cdot b^{4} \cdot a^{-16}
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplificaron los exponentes}}\\
&=& \dfrac{ \sqrt[3]{c^2} \cdot b^{4}}{a^{16}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se eliminaron el exponente negativo y la potencia fraccionaria con las reglas }} \\&&\phantom{xxx}\blue{a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ y } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}
\end{array}#

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