La diferencia de cuadrados

Álgebra: Productos notables

La diferencia de cuadrados

Diferencia de cuadrados

Con la diferencia entre dos cuadrados, podemos factorizar con la siguiente regla:

\[\blue a^2-\green b^2=(\blue a+\green b) (\blue a-\green b)\]

\[\begin{array}{rcl} x^2-16&=& \blue{x}^2-\green{4}^2 \\ &=& (\blue{x}+\green{4}) (\blue{x}-\green{4})
\end{array}\]

También podemos usar esta fórmula, al revés, para eliminar los paréntesis:

\[(\blue a+\green b) (\blue a-\green b) = \blue a^2-\green b^2\]

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}+\green{5}) (\blue{x}-\green{5}) &=& \blue{x}^2-\green{5}^2 \\ &=& x^2-25 \\
\end{array}\]

La derivación de esta regla se desprende del método del producto de binomios: \[\begin{array}{rclcl}(\blue a+\green b)(\blue a-\green b)&=&\blue a^2-\blue a\green b +\green b\blue a -\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{método del producto de binomios }}\\ &=&\blue a^2-\blue a \green b+\blue a \green b-\green b^2 &&\blue{\text{regla } ab=ba}\\ &=&\blue a^2-\green b^2&&\blue{\text{suma de términos }}\end{array}\]

No aplica para la suma de dos cuadrados

Ten en cuenta que esta regla no se aplica a la suma de dos cuadrados:

\[(a+b)^2 \;\red\ne \; a^2 +b^2\]

Según el binomio al cuadrado (suma), tenemos:

\[(a+b)^2 = a^2 + 2 a b+b^2\]

Por lo tanto, no olvides el término #2 a b#.

Factoriza \({4}{a}^2-49\).

#(2a+7)(2a-7)#

#\begin{array}{rcl}{4}{a}^2-49&=&(2a)^2-7^2\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{reconocer el cuadrado}}\\&=&(2a+7)(2a-7)\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{factorizar}}\end{array}#

Nuevo ejemplo