Un binomio al cuadrado (el cuadrado de una suma o una diferencia)

Álgebra: Productos notables

Un binomio al cuadrado (el cuadrado de una suma o una diferencia)

Los productos notables son casos particulares del método del producto de binomios que se usan con tanta regularidad que ocupan un lugar especial.

Binomio al cuadrado (suma)

Para el binomio al cuadrado (suma), tenemos: \[(\blue a+\green b)^2=\blue a^2+2\blue a \green b+\green b^2\]

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}+\green{3})^2 &=& \blue{x}^2 + 2 \blue{x}\cdot \green{3} + \green{3}^2 \\ &=& x^2 + 6 x + 9 \end{array}\]

La derivación de la fórmula de suma se desprende directamente del método del producto de binomios:\[\begin{array}{rclcl}\left(\blue a+\green b\right)^2&=&\left(\blue a+\green b\right)\left(\blue a+\green b\right) &\phantom{x}&\blue{\text{del cuadrado a un producto}}\\&=& \blue a^2+{\blue a}{\green b}+{\green b}{\blue a}+\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{expansión de paréntesis}}\\&=& \blue a^2+2\blue a \green b+\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{suma de términos}}\end{array}\]

Binomio al cuadrado (resta)

Para el binomio al cuadrado (resta), tenemos: \[(\blue a-\green b)^2=\blue a^2-2\blue a \green b+\green b^2\]

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}-\green{3})^2 &=& \blue{x}^2 - 2 \blue{x}\cdot \green{3} + \green{3}^2 \\ &=& x^2 - 6 x + 9 \end{array}\]

Además, esta fórmula de diferencia se puede derivar directamente del método del producto de binomios:

\[\begin{array}{rclcl}\left(\blue a-\green b\right)^2&=&\left(\blue a-\green b\right)\left(\blue a-\green b\right) &\phantom{x}&\blue{\text{del cuadrado a un producto }}\\&=& \blue a^2-{\blue a}{\green b}-{\green b}{\blue a}+(-\green b)^2&\phantom{x}&\blue{\text{expansión de paréntesis }}\\&=& \blue a^2-2\blue a \green b+\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{suma de términos y }(-1)^2=1}\end{array}\]

También podemos derivar la fórmula de diferencia de la fórmula de suma reemplazando \(\green b\) por \(-\green b\). En las soluciones elaboradas de los ejercicios, haremos esto regularmente.

Expande los paréntesis en \((9r-3)^2\) y simplifica tanto como sea posible.

#81r^2-54r+9#

#\begin{array}{rclcl}(9r-3)^2&=&(9r)^2+2\cdot (9r)\cdot -3+(-3)^2\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula de suma para cuadrados}}\\&=&81r^2-54r+9\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se redujo}}\end {array}#

Nuevo ejemplo