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Podemos determinar los factores comunes:
\[\begin{array}{rcl}\blue{a}\green{b}+\blue{a}\purple{c} &=& \blue{a}(\green{b}+\purple{c}) \\ \\
\blue{a}\purple{c}+\green{b}\purple{c}&=&(\blue{a}+\green{b})\purple{c}\end{array}\]
Como se puede ver en los ejemplos, el factor común puede ser tanto un número como una expresión con una variable.
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Ejemplos
\[\begin{array}{rcl}3x+27&=&\blue{3} \cdot \green{x}+\blue{3}\cdot \purple{9}\\&=&\blue{3} \cdot (\green{x}+\purple{9})\\ \\ 3x^2+x &=& \blue{x} \cdot \green{3x} + \blue{x} \cdot \purple{1} \\&=& \blue{x} \cdot (\green{3x}+ \purple{1})\\ \\ 4x^2+8x&=& \blue{4x} \cdot \green{x} + \blue{4x} \cdot \purple{2} \\&=& \blue{4x} \cdot (\green{x}+ \purple{2})\end{array}\]
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La regla anterior también es válida para varios términos dentro de los paréntesis:
\[\begin{array}{rcl}\blue{a} \cdot \green{b} + \blue{a} \cdot \purple{c} + \blue{a} \cdot \color{purple}{d}&=&\blue{a} \cdot \left(\green{b}+\purple{c}+\color{purple}{d}\right) \\ \\
\blue{a} \cdot \green{b} + \blue{a} \cdot \purple{c} + \blue{a} \cdot \color{purple}{d}+\blue{a} \cdot \orange{e}&=&\blue{a} \cdot \left(\green{b}+\purple{c}+\color{purple}{d}+\orange{e}\right)\end{array}\]
Ejemplos
\[\begin{array}{rcl}2x^3+4x^2+6x&=&\blue{2x} \cdot \green{x^2} + \blue{2x} \cdot \purple{2x} + \blue{2x} \cdot \color{purple}{3}\\&=&\blue{2x} \cdot \left(\green{x^2}+\purple{2x}+\color{purple}{3}\right) \\ \\ 4x^4+8x^3+4x^2+12x&=&\blue{4x} \cdot \green{x^3} + \blue{4x} \cdot \purple{2x^2} + \blue{4x} \cdot \color{purple}{x}+\blue{4x} \cdot \orange{3}\\&=&\blue{4x} \cdot \left(\green{x^3}+\purple{2x^2}+\color{purple}{x}+\orange{3}\right)\end{array}\]
En la regla anterior, a menudo hay múltiples opciones para factorizar los factores. Si factorizamos un factor #4#, también podemos factorizar un factor #2#. En general, nos interesa factorizar el factor más grande posible.
Si hemos factorizado tantos factores como sea posible, lo llamamos factorización. El proceso de factorizar se llama factorización.
En los ejemplos a continuación, veremos que a veces podemos factorizar múltiples factores. Llamaremos “factorización” al último paso del proceso de factorizar, porque habremos factorizado el término común más grande.
\[\begin{array}{rcl} 4x^2+2x &=& 2 \cdot (2x^2 +x) \\ &=& 2x \cdot (2x +1) \end{array}\]
El factor más grande que hemos factorizado en el siguiente ejemplo es #2x#. La factorización es, por lo tanto, #2x \cdot (2x +1)#.
\[\begin{array}{rcl} 4x^3+8x^2 &=& 4 \cdot (x^3 +2x^2) \\ &=& 4x \cdot (x^2 +2x) \\ &=& 4x^2 \cdot (x+2) \end{array}\]
El factor más grande que hemos factorizado en el siguiente ejemplo es #4x^2#. La factorización es, por lo tanto, #4x^2 \cdot (x+2)#.
Excepto por el orden de los términos y la multiplicación de constantes, la factorización es única si no hay otros factores para factorizar.
Por el momento, solo trabajamos con números enteros y fracciones, y no con raíces.
Si es posible, factoriza: #6\cdot c+42#.
#6\cdot \left(c+7\right)#
Cuando factorizamos, nos fijamos en el máximo común divisor de ambos términos. En este caso, el máximo común divisor es #6#.
\[\begin{array}{rcl}
6\cdot c+42 &=& 6 \cdot c + 6 \cdot 7
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se escribió con el factor común }}\\
&=& 6\cdot \left(c+7\right)
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{se factorizó }}\\
\end{array}\]
Factorizar
