Hasta el momento no hemos podido describir formas geométricas distintas a un círculo, un triángulo o una recta. La teoría de ecuaciones paramétricas nos permite describir formas de varios tipos. Restringimos nuestra atención a las curvas paramétricas.
Una curva paramétrica #\orange{C}# es una figura en el plano que está descrita por dos ecuaciones
\[\orange C \colon \phantom{x}\begin{cases}\blue{x}&=\blue{x(t)}\\ \green{y}&=\green{y(t)} \end{cases}\]
donde #t# varía en un determinado #\text{intervalo}#. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas. La curva #\orange{C}# consta de todos los puntos #\rv{\blue{x(t)},\green{y(t)}}# para #t# en el intervalo.
Ejemplo
Las ecuaciones paramétricas \[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t^2}\\\green{y(t)}&=&\green{2-t},\end{array}\] con #t# en el intervalo #\ivcc{-4}{2}# definen una curva paramétrica.
Ejemplo
En la figura se ve la curva del ejemplo definida por las ecuaciones \[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t^2}\\\green{y(t)}&=&\green{2-t},\end{array}\]
en el intervalo #[-4,2]#.
Dos curvas paramétricas con las mismas ecuaciones paramétricas pueden verse muy diferentes si los intervalos son diferentes. En el ejemplo, la curva #\orange{C}# fue definida por \[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t^2}\\\green{y(t)}&=&\green{2-t},\end{array}\] #t# entre #-4# y #2#.
Cuando cambiamos el intervalo a #t# que van de #0# a #6#, obtenemos la siguiente figura:
También se puede definir una ecuación paramétrica con más variables y usando más ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación paramétrica dada por una versión escalada de \[\begin{array}{rcl}x(t)&=&\cos(2t)+t\\y(t)&=&t+t^2-4\\z(t)&=&\cos(2t) + \sin(3t) +0.2t,\end{array}\]donde #t# abarca el intervalo #\ivcc{-10}{10}# y define una curva en un espacio tridimensional.
No estudiaremos este tipo de curvas en este curso.
Órbita
Tales curvas paramétricas se pueden usar para describir la órbita de un punto #\orange P# determinado. Si tal órbita se describe mediante ecuaciones paramétricas \[\begin{cases}\blue x &= \blue{x(t)},\\ \green y & = \green{y(t)}. \end{cases}\] entonces se suele escribir #\orange{P_{t}}# para la "localización" de #\orange P# en el momento #t#, es decir \[\orange{P_{t_0}}=\rv{\blue{x(t_0)},\green{y(t_0)}}\]
donde #t_0# es un número del intervalo. En la figura hay un ejemplo donde \[\rv{ \blue{x(t)}, \green{y(t)} }= \rv{ \blue{\sin(t) + \cos(t)}, \green{\cos(t)} }\]
En una curva paramétrica hay una noción de dirección. De manera informal, la dirección de la curva está determinada por la dirección que tiene la curva cuando #t# aumenta. Se puede invertir la dirección de una curva paramétrica "moviéndose en la otra dirección". Por ejemplo, una curva paramétrica en un intervalo #[a,b]# \[\begin{cases}\blue{x}&=\blue{x(t)}\\ \green{y}&=\green{y(t)} \end{cases}\] puede invertirse con la siguiente curva: \[\begin{cases}\blue{x}&=\blue{x(-t)}\\ \green{y}&=\green{y(-t)} \end{cases}\]
en el intervalo #[-b, -a]#.
Estas nociones se pueden precisar usando la derivada. Lo haremos luego.
Se pueden calcular las intersecciones de la curva con los ejes del plano #x,y#. Para calcular la intersección de la curva con el eje #y#, se debe resolver #\blue{x(t)}=0#. Las intersecciones con el eje #x# se calculan resolviendo #\green{y(t)}=0#.
Las curvas paramétricas son muy útiles para describir el movimiento en la física.
La curva
\[\orange P \colon \phantom{x}\begin{cases}\blue{x(t)}&=10 \cdot \cos( \theta ) t\\ \green{y(t)}&= 10 \cdot \sin(\theta) t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \end{cases}\]
describe la órbita de un objeto lanzado desde el origen con un ángulo variable #\theta# y una velocidad de #10 \text{ } m/s# con una constante gravitacional #g#. En la mayoría de los lugares de la tierra, la constante gravitacional es de alrededor de #9.8 \text{ } m /s^2#.
Es posible ajustar los valores en la imagen usando los controles deslizantes. Ten en cuenta que la distancia de lanzamiento es máxima cuando el ángulo es #45# grados y que el valor de #\theta# en el control deslizante está en radianes.
En el ejemplo descartamos la fricción por simplicidad.
La altura máxima de una curva paramétrica se alcanza siempre que #\green{y(t)}# es un máximo dentro del intervalo especificado. Si queremos saber la altura máxima de la curva en el ejemplo, debemos encontrar el valor máximo de
\[\green{y(t)}= 10 \cdot \sin(\theta) t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \]
El momento en que se alcanza el valor máximo se puede hallar poniendo la derivada a cero:
\[\frac{\partial y(t)}{\partial t}=10\cdot \sin(\theta) - g\cdot t = 0\quad\text{ entonces }\quad t= \frac{10\cdot \sin(\theta)}{g}\]
Por lo tanto, la altura máxima de la curva es la altura que se alcanza en el tiempo #t_h= \frac{10\cdot \sin(\theta)}{g}#, por lo que sustituimos este valor:
\[\begin{array}{rcl}\green{y(t_h)}&=& 10 \cdot \sin(\theta) t_h - \frac{1}{2}g \cdot t_h^2\\ &=& 10\cdot \sin(\theta)\frac{10\cdot \sin(\theta)}{g} - \frac{1}{2}g\cdot \frac{10\cdot \sin(\theta)}{g}\\ &=& 100\cdot \frac{\sin^2(\theta)}{g}- 5\cdot \sin(\theta) \end{array}\]
Esto da una altura máxima de #100\cdot \frac{\sin^2(\theta)}{g}- 5\cdot \sin(\theta)#.
Cada gráfica de una función se puede describir con una curva paramétrica. En este sentido, la teoría de curvas paramétricas es una teoría más amplia que la teoría de funciones y gráficas.
Si #f(x)# es una función en un dominio #\ivcc{a}{b}#, entonces podemos definir una curva paramétrica #\orange{C}# de la siguiente manera
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t}\\\green{y(t)}&=&\green{f(t)},\end{array}\] donde #t# abarca el intervalo #\ivcc{a}{b}#. Esta curva coincide con la gráfica de la función # f(x)#.
Usando la definición de una curva paramétrica como la anterior, en realidad no es cierto que toda gráfica de una función pueda describirse con la ecuación paramétrica como en el ejemplo. Hay un tecnicismo que consiste en que el dominio de una función no tiene por qué ser un intervalo, mientras que la variable #t# en una curva paramétrica siempre debe variar sobre un intervalo. Por tanto, el enunciado preciso es: Cada gráfica de una función definida en un intervalo se puede describir con una curva paramétrica.
Otra forma de deshacerse de este tecnicismo es relajar la definición de una ecuación paramétrica de forma que se permita que #t# varíe también sobre cualquier subconjunto de los números reales.
No toda curva paramétrica puede describirse como la gráfica de una sola función. Tomemos por ejemplo el círculo unitario, descrito con la ecuación paramétrica \[\begin{array}{rcl}\green{x(t)}&=&\green{\cos (t)}\\ \blue{y(t)}&=&\blue{\sin(t)}.\end{array}\]
Esto describe el círculo de radio #1# centrado alrededor del origen.
Como una función solo puede tener un único valor de #y# correspondiente a cada valor de #x#, necesitamos al menos dos funciones para describir el círculo unitario. Estos serían uno para la mitad superior y otro para la mitad inferior del círculo.
Dadas las ecuaciones paramétricas #\rv{\blue{x(t)}, \green{y(t)}}# y un intervalo #\ivcc{a}{b}# para #t# puede ser muy útil hacer un dibujo de la curva. Esto se puede hacer al elegir algunos valores explícitos para #t# en #\ivcc{a}{b}# y sustituir estos en las ecuaciones paramétricas #\blue{x(t)}# y #\green{y(t)}#. Después de dibujarlas en el plano, en la mayoría de los casos quedará claro cuál debe ser la curva correspondiente.
Ejemplo
Considera la curva #\orange C# dada por #\rv{ \blue{x(t)}, \green{y(t)} } = \rv{\blue{\frac{3t}{1+t^3}}, \green{\frac{3t^2}{1+3t^3}} }# definida para #t \neq -1#. Elegimos algunos valores para #t# y trazamos el punto #\orange{P_t}#. La recta punteada es la propia curva #\orange C#.
Determina la altura máxima #h# de la curva paramétrica dada por las ecuaciones
\[\begin{cases}
x(t) &= \left(t-5\right)\cdot \left(t+4\right)+2, \\
y(t) &= 6\cdot \cos \left(\sqrt{t^2-t-30}\right)+3.
\end{cases}\]
donde #t# se encuentra en #\left[ -10 , 11 \right] #.
La altura máxima es #9#.
La altura máxima se alcanza siempre que #y(t) = 6\cdot \cos \left(\sqrt{t^2-t-30}\right)+3# es la máxima. El coseno es periódico y toma el valor máximo. #1#. Esto sucede cada vez que #\sqrt{t^2-t-30} = 0#. Si elevamos la ecuación al cuadrado obtenemos #t^2-t-30 = 0#. Resolvemos esto con la factorización. Obtenemos #\left(t-6\right)\cdot \left(t+5\right) = 0# y encontramos las soluciones #\left[ t=-5 , t=6 \right] #. Estas se encuentran en el intervalo deseado. En consecuencia, la altura máxima se obtiene sustituyendo uno de estos valores en #y(t)#. Vemos que la altura se obtiene de #9#.
Curvas paramétricas
