Intersecciones de una recta y un círculo

Geometría: Círculos

Intersecciones de una recta y un círculo

Una recta y un círculo pueden tener dos, uno o ningún punto de intersección. En el caso de que tengan un solo punto de intersección, la recta se llama línea tangente a un círculo.

En la figura vemos una recta y un círculo. Mueve el círculo arrastrando el centro y cambia el radio ajustando el control deslizante. Mueve la recta arrastrando los dos puntos. Ve lo que sucede con el número de intersecciones.

El bloque describe cómo hallar la intersección de una recta y un círculo.

Recta de intersección y círculo

	Paso a paso	Ejemplo
	Determinamos las intersecciones de una recta #\blue l# y un círculo #\green c#.	#\blue l: \blue{y-2x=4}# #\green c: \green{(x+2)^2+(y-1)^2=1}#
Paso 1	Escribe la ecuación de la recta #\blue l# en la siguiente forma #y=\ldots#	#\blue l: \blue{y=2x+4}#
Paso 2	Sustituye la ecuación de la recta #\blue l#, hallada en el paso 1, en la ecuación del círculo #\green c#.	#(x+2)^2+(2x+4-1)^2=1#
Paso 3	Expande los paréntesis de la ecuación cuadrática en #x# del paso 2 y determina el discriminante. #D \lt 0# entonces #\blue l# y #\green c# no tienen punto de intersección y ahí terminamos. #D=0# entonces #\blue l# y #\green c# tienen un punto de intersección, procede al paso 4. #D \gt 0# entonces #\blue l# y #\green c# tienen dos puntos de intersección, procede al paso 4.	#5x^2+16x+12=0# # \begin{array}{rcl}D&=&16^2-4 \cdot 5 \cdot 12\\&=&16 \\ &\gt& 0\end {array} # Hallamos dos puntos de intersección.
Paso 4	Determina las coordenadas #x# de los puntos de intersección al resolver la ecuación cuadrática del paso 2 utilizando la fórmula cuadrática.	#x=\tfrac{-16-\sqrt{16}}{2 \cdot 5} \lor \tfrac{-16+\sqrt{16}}{2\cdot 5}# # x=-2 \lor x=-\tfrac{6}{5}#
Paso 5	Sustituye las coordenadas #x# halladas en el paso 4 en la ecuación de la recta del paso 1 para determinar las coordenadas #y# correspondientes.	Si #x=-2#, entonces #y=2 \cdot -2+4=0# Si #x=-\tfrac{6}{5}#, entonces #y=2 \cdot -\tfrac{6}{5}+4=\frac{8}{5}#

Imagen

\[\phantom{x}\]

En la imagen, se trazan la recta #\blue l: \blue{y-2x=4}# y el círculo #\green c: \green{(x+2)^2+(y-1)^2=1}#.

Intercambio de roles de x e y

En el paso #1# también podemos volver a escribir #l# en la forma #x=\ldots#. Entonces, el resto de los pasos serán los mismos con el rol de #x# e #y# intercambiados. Esto significa que cada #x# debe sustituirse por #y# y viceversa. De esta manera también podemos hallar los puntos de intersección con una línea vertical.

Determina los puntos de intersección de la recta #l: y=4-6\cdot x# con el círculo #c: \left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=64#.

Da tu respuesta en la siguiente forma

#ninguna# #\phantom{xxxwwxx}# si no hay punto de intersección,
#\left\{\rv{a,b}\right\}\phantom{xxxww}# si hay un punto de intersección y
#\left\{\rv{a,b},\rv{c,d}\right\}\phantom{x}# si hay dos puntos de intersección,

en los que #a#, #b#, #c#, #d# son números exactos.

#\left\{\rv{{{10-\sqrt{1839}}\over{37}},{{6\cdot \left(\sqrt{1839}-10\right)}\over{37}}+4},\rv{{{\sqrt{1839}+10}\over{37}},4-{{6\cdot \left(\sqrt{1839}+10\right)}\over{37}}}\right\}#

Paso 1	La recta #l# ya tiene la forma #y=\ldots#.
Paso 2	Sustituimos la ecuación de la recta #l# en la ecuación del círculo. Eso nos da: \[\left(x-4\right)^2+\left(4-6\cdot x-3\right)^2=64\] Esto se puede simplificar a: \[\left(x-4\right)^2+\left(1-6\cdot x\right)^2=64\]
Paso 3	Reducimos la ecuación del paso 2 a #0# y ampliamos los paréntesis. Esto se realiza de la siguiente manera: \[\begin{array}{rcl}\left(x-4\right)^2+\left(1-6\cdot x\right)^2&=&64 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ecuación original}} \\ 37\cdot x^2-20\cdot x+17&=&64\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se expandieron los paréntesis}} \\ 37\cdot x^2-20\cdot x-47 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se redujo a }0} \ \end{array}\] Ahora leemos #a#, #b# y #c# para la fórmula cuadrática. Eso nos da: #a=37#, #b=-20# y #c=-47#. Ahora podemos calcular el discriminante. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula discriminante}} \\ &=& (-20)^2-4\cdot 37 \cdot -47 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se sustituyó}} \\ &=& 7356 \end{array}\] Como el discriminante es igual a # 7356 \gt 0 #, hay #2# soluciones.
Paso 4	Seguimos resolviendo la ecuación utilizando la fórmula cuadrática. \[\begin{array}{rcl}x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula cuadrática}} \\ x=\frac{-{-20}-\sqrt{7356}}{2 \cdot 37} &\lor&\frac{-{-20}+\sqrt{7356}}{2 \cdot 37} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se sustituyó en la fórmula cuadrática}} \\ x={{10-\sqrt{1839}}\over{37}} &\lor& x={{\sqrt{1839}+10}\over{37}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplificó}} \end{array}\]
Paso 5	Ahora determinamos los valores adecuados de #y# que se hallan al sustituir los valores de #x# en la ecuación de la recta #l#. Para #x={{10-\sqrt{1839}}\over{37}}#, se tiene que # y = -6 \cdot {{10-\sqrt{1839}}\over{37}} +4 = {{6\cdot \left(\sqrt{1839}-10\right)}\over{37}}+4 #. Para #x={{\sqrt{1839}+10}\over{37}}#, se tiene que # y = -6 \cdot {{\sqrt{1839}+10}\over{37}} +4 = 4-{{6\cdot \left(\sqrt{1839}+10\right)}\over{37}} #. Por tanto, los puntos de intersección son: \[\left\{\rv{{{10-\sqrt{1839}}\over{37}},{{6\cdot \left(\sqrt{1839}-10\right)}\over{37}}+4},\rv{{{\sqrt{1839}+10}\over{37}},4-{{6\cdot \left(\sqrt{1839}+10\right)}\over{37}}}\right\}\]

Nuevo ejemplo