Geometría: Círculos
Diferentes descripciones de un círculo
Un círculo es una forma geométrica en el plano que está determinada por un punto #P#, el centro del círculo y un radio #r#. El círculo está formado por todos los puntos que tienen una distancia #r# de #P#. Cuando queremos calcular con círculos, es útil tener una ecuación para un círculo.
Un círculo con centro #\blue{P} =\blue{ \rv{a, b}}# y radio #\green{r} > 0# puede describirse mediante la ecuación
\[(x - \blue {a} )^2 + (y-\blue{b})^2 = \green{r}^2\]
Una ecuación de este tipo suele llamarse la ecuación de un círculo (también conocida como la ecuación de una circunferencia).
No se ve inmediatamente en una ecuación si se puede o no reescribir como la ecuación de un círculo. Sin embargo, se puede probar la técnica de completando el cuadrado.
Completando el cuadrado
Una ecuación de la forma
\[x^2 + dx + y^2 + ey + f = 0\]
se puede reescribir como
\[(x - \blue{a})^2 + (y- \blue{b} )^2 = c\]
Cuando #c# es positivo se puede reescribir como una ecuación de un círculo con centro #\blue{\rv{a, b}}# y radio #\green{r} = \green{\sqrt{c}}#
\[(x - \blue{a})^2 + (y-\blue{b})^2 = \green{r}^2\]
Ejemplo
La ecuación
\[x^2 + y^2 - 2y - 8x - 8 =0\]
se puede reescribir como \[(x - \blue{4})^2 -16 + (y -\blue{1})^2 -1 -8 =0\]
Llevando los términos constantes a la derecha obtenemos la ecuación
\[(x - \blue{4})^2 + (y-\blue{1})^2 = \green{5}^2\]
Esta es la ecuación del círculo con centro #\blue{\rv{4, 1}}# y radio #\green{\sqrt{25}} = \green{5}#
Dibujar un círculo
A partir de la ecuación de un círculo es posible trazar el círculo usando lápiz y compás. Primero dibuja el centro del círculo y luego traza un círculo con el radio correcto usando la brújula. A continuación se muestra un ejemplo con el centro #\blue{P} = \blue{\rv{2, 1}}# y radio #\green{r} = 1#.
#r=# #\sqrt{3}#
En la ecuación de un círculo de la forma #(x-a)^2+(x-b)^2=r^2#, el punto central #M# es igual a #\rv{a,b}# y el radio a #r#.
En este caso, por lo tanto, #M= \rv{6, 2}# y el radio #r=\sqrt{3}#.
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