Geometría: Rectas
Rectas perpendiculares
Ya hemos visto que dos rectas perpendiculares forman un ángulo de #90^\circ# o #\frac{\pi}{2}# radianes. Esto da una relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares.
Rectas perpendiculares
Para dos rectas #\blue k# y #\green l# con pendientes #a_{\blue k}# y #a_{\green l}# tenemos:
\[\begin{array}{c} a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1 \\ \text{ si y solo si }\\ \text{la recta }\blue k \text{ y la recta } \green l \text{ son perpendiculares}\end{array}\]
Esto significa que siempre que #a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1# las rectas son perpendiculares.
Además, si las rectas #\blue k# y #\green l# son perpendiculares, #a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1#.
Dada una recta #k# y un punto #P# podemos usar esto para determinar una recta #l# perpendicular a #k# que pasa por #P#.
Determinación de la recta perpendicular
| Paso a paso | Ejemplo | |
| Determinamos la recta perpendicular #\green l# a una recta #\blue k# que pasa por un punto #P#. |
#\blue k: y=3x+5# #P=\rv{3,2}# |
|
| Paso 1 |
Determina la pendiente de la recta #\blue k#. |
#a_{\blue k}=3# |
| Paso 2 |
Determina la pendiente de la recta #\green l# usando la regla #a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1#. |
#a_{\green l}=-\frac{1}{3}# |
| Paso 3 |
La ecuación de la recta #\green l# es de la siguiente forma \[y=a_{\green l} \cdot x+b\] |
#\green l: y=-\frac{1}{3}x+b# |
| Paso 4 |
Determina #b# al sustituir las coordenadas del punto #P# y resolver la ecuación resultante. |
#b=3# |
| Paso 5 |
Sustituye #b# en la ecuación del paso 3. |
#\green l: y=-\frac{1}{3}x+3# |
| Paso 1 | Determinamos la pendiente de la recta #k: y={{5\cdot x}\over{4}}+{{3}\over{4}}#. Esto es igual a #{{5}\over{4}}#. |
| Paso 2 | Ahora determinamos la pendiente de la recta #l# con la regla: #a_k \cdot a_l=-1#. Esto se realiza de la siguiente manera: \[\begin{array}{rcl}{{5}\over{4}} \cdot a_l=-1 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de las rectas perpendiculares con }a_k={{5}\over{4}}} \\ a_l=\frac{-1}{{{5}\over{4}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados se dividieron entre }{{5}\over{4}}} \\ a_l=-{{4}\over{5}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}} \end{array}\] |
| Paso 3 | La recta #l# es de la siguiente forma: #y=-{{4}\over{5}} \cdot x+b#. |
| Paso 4 | Sustituimos el punto #P# para determinar #b#. Esto nos da la ecuación \[1=-{{4}\over{5}} \cdot 0+b\] Resolvemos esta ecuación lineal para #b# y hallamos \[b=1\]. |
| Paso 5 | Sustituimos #b# que encontramos en la ecuación del paso #3#. Esto nos da: \[l: y=1-{{4\cdot x}\over{5}}\] |
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