Ángulos entre rectas

Geometría: Rectas

Ángulos entre rectas

Hemos visto la pendiente de una recta. Podemos usar la pendiente para determinar el ángulo de la recta con el eje #x#.

Ángulo de inclinación

El ángulo de inclinación de una recta #k# es el ángulo agudo o recto que forma #k# con el eje #x#.

Una recta con pendiente positiva tiene un ángulo de inclinación positivo y una con pendiente negativa tiene un ángulo de inclinación negativo. Por tanto tenemos para un ángulo de inclinación #\blue{\alpha}# en radianes que \[-\frac{\pi}{2} \lt \blue{\alpha} \leq \frac{\pi}{2}\]Tenemos la fórmula

\[\tan(\blue{\alpha})=\text{pendiente}\]

Grados

En grados, el ángulo de inclinación de una recta se encuentra entre #-90^\circ# y #90^\circ#.

Esto se puede calcular con el #\arctan#.

Utilizando el ángulo de inclinación de una recta podemos calcular el ángulo entre dos rectas que se cruzan.

Ángulo entre dos rectas

	Paso a paso	Ejemplo
	Calculamos el ángulo entre rectas #\blue l# y #\green k#.	#\blue l: y=\sqrt{3}x+1# #\green k: \sqrt{3}x+3y=2#
Paso 1	Calcula las pendientes de la recta #\blue l# y de la recta #\green k#.	#{rc}_{\blue l}=\sqrt{3}# #{rc}_{\green{k}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}#
Paso 2	Calcula el ángulo de inclinación #\alpha# de las dos rectas.	#\alpha_{\blue{l}}=\frac{\pi}{3}# #\alpha_{\green{k}}=-\frac{\pi}{6}#
Paso 3	Si #\alpha_{\blue l} \gt \alpha_{\green{k}}#, entonces: #\alpha_{\blue l}- \alpha_{\green k}# si #\alpha_{\blue {l}}- \alpha_{\green k} \leq \frac{\pi}{2}# es el caso #\pi-(\alpha_{\blue l}- \alpha_{\green k} )# si #\alpha_{\blue l}- \alpha_{\green k} \gt \frac{\pi}{2}# es el caso	#\frac{\pi}{3}--\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}#

Imagen

En la figura podemos ver el ejemplo graficado en el plano #xy#.

Paso 3

Si #\alpha_{\blue l} \lt \alpha_{\green k}# podemos intercambiar los roles de #\blue l# y #\green k# y hacer el mismo cálculo.

Dos ángulos

Dos rectas que se cruzan siempre determinan cuatro ángulos. Estos ángulos vienen en pares opuestos y en estos pares los ángulos son iguales. En general, hay dos ángulos diferentes. Cuando hablamos del ángulo entre dos rectas, elegimos el menor de los dos. Por lo tanto, hacemos la distinción en el paso #3#.

Determina el ángulo #\alpha# de la recta #y=\sqrt{3}\cdot x+8#.
Da una respuesta exacta en radianes.

#\alpha=# #{{\pi}\over{3}}#

La pendiente de la recta #y=\sqrt{3}\cdot x+8# es igual a #\sqrt{3}#.
Ahora para el ángulo #\alpha# se tiene que #\tan(\alpha)=\sqrt{3}#.
Esto significa que #\alpha={{\pi}\over{3}}#.

Nuevo ejemplo