Hasta ahora hemos visto, entre otros, números enteros, fracciones y raíces. Hemos visto que todos estos son números. Los números se pueden clasificar en dos categorías, a saber, los números racionales, como #4#, #-1# y #\tfrac{1}{2}#, y los números irracionales, como #\sqrt{2}# y #\pi#.
Los números racionales son todos los números que se pueden escribir como fracciones de números enteros.
Cuando convertimos un número racional en un número decimal, encontramos:
- una cantidad finita de decimales (esta cantidad podría ser #0#),
- una cantidad infinita de decimales, pero encontramos un patrón: algunos de los decimales se repiten.
Indicamos esto con una línea arriba de los números recurrentes.
Ejemplos
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{2}{1}&=&2 \\ \\ \dfrac{1}{2}&=&0.5 \\ \\ \dfrac{1}{13}&=&0.\overline{076923} \\ \\ \dfrac{1}{3}&=&0.\overline{3}\end{array}\]
Los números irracionales son todos los números que tienen una expansión decimal infinita no repetitiva.
Esto significa que el número se puede escribir como un número decimal con infinitos decimales, que no se repiten.
Ejemplos
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{2}&=&1.414213562373095... \\ \\ \pi&=& 3.1415926543589793... \end{array}\]
Probamos que #\sqrt{2}# es irracional. Usamos una prueba por contradicción. Eso significa que suponemos que #\sqrt{2}# es racional; luego, encontramos una contradicción; y, luego, concluimos que no puede ser cierto que #\sqrt{2}# sea racional.
Si suponemos que #\sqrt{2}# es racional, podemos escribirlo como una fracción #\tfrac{\blue p}{\orange q}# para la cual #\blue p# y #\orange q# son números enteros. Los números enteros #\blue p# y #\orange q# no tienen divisores comunes porque, si los tuvieran, podríamos simplificar aún más la fracción.
Por lo tanto:
\[\sqrt{2}=\frac{\blue p}{\orange q}\]
Al elevar al cuadrado ambos lados, encontramos:
\[2=\frac{\blue p^2}{\orange q^2}\]
Al multiplicar ambos lados por #\orange q^2#, encontramos:
\[2\orange q^2=\blue p^2\]
El lado izquierdo es divisible por #2#, por lo que el lado derecho también debería serlo. Por lo tanto, #\blue p^2# es divisible por #2#, y, por lo tanto, #\blue p# también lo es.
A continuación, observamos que, si #\blue p# es divisible por #2#, podemos escribir #\blue{p}# como #2 \cdot a#, por lo cual #a# es un número entero. Esto significa:
\[2 \orange q^2=(2a)^2=4a^2\]
Si dividimos ambos lados entre #2#, encontramos:
\[\orange q^2=2a^2\]
Esto significa que #\orange q^2# es divisible por #2#, y, por lo tanto, #\orange q# también es divisible por #2#.
Entonces vemos que #\blue p# y #\orange q# son divisibles por #2#. Esto contradice el hecho de que #\blue{p}# y #\orange{q}# no tienen divisores comunes. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta, y no podemos escribir #\sqrt{2}# como una fracción. Por lo tanto, #\sqrt{2}# es irracional.
Por último, observamos que, juntos, denominamos los números racionales e irracionales números reales.
Los números reales son los números racionales e irracionales juntos.
Estos son todos los números que están en la recta numérica.
¿El número #{{1}\over{4}} # es un número racional o irracional?
Los números racionales se pueden escribir como una fracción. Esto significa que los números tienen o una cantidad finita de decimales o una cantidad infinita de decimales con un patrón repetitivo en estos decimales. Los números irracionales no se pueden escribir como una fracción y tienen un número infinito de decimales que no se repiten.
En este caso, el número #{{1}\over{4}}# es una fracción, entonces, es racional .
Números irracionales
