Potencias y raíces

Cuando calculamos #\left(\sqrt[\green3]{\blue8}\right)^\green3#, obtenemos:

\[\left(\sqrt[\green3]{\blue8}\right)^\green3=2^\green3=\blue8\]

Del mismo modo, también podemos hacer esto en raíces con diferentes índices. En general, podemos afirmar lo siguiente:

Una raíz de orden mayor elevada al índice de la raíz es igual al número dentro del signo radical.

De manera similar a las raíces cuadradas, también se afirma que:

\[\begin{array}{rcrrcr}\sqrt[\green3]{\blue8^\green3}&=& \sqrt[\green3]{512}&=&\blue8\\\sqrt[\green3]{(\blue{-8})^\green3}&=&\sqrt[\green3]{-512}&=&\blue{-8}\\\sqrt[\green4]{\blue2^\green4}&=&\sqrt[\green4]{16}&=&\blue2\\\sqrt[\green4]{(\blue{-2})^\green4}&=&\sqrt[\green4]{16}&=&\blue2\end{array}\]

En general, podemos afirmar lo siguiente:

Para índices impares: la raíz de orden mayor de un número elevado al índice de la raíz es igual al número que está exponenciado.

Para índices pares: la raíz de orden mayor de un número elevado al índice de la raíz es igual al valor absoluto del número que está exponenciado.

Ejemplos

\[\begin{array}{rclrcl}\left(\sqrt[\green4]{\blue2}\right)^\green4&=&\blue2 \\ \\ \left(\sqrt[\green5]{\blue{20}}\right)^\green5&=&\blue{20} \\\\ \left(\sqrt[\green5]{\blue{-3}}\right)^\green5&=&\blue{-3}\\\\\\ \\ \sqrt[\green5]{\blue2^\green5}&=&\blue2 \\ \\ \sqrt[\green4]{\blue{20}^\green4}&=&\abs{\blue{20}}&=&\blue{20} \\ \\ \sqrt[\green3]{\left(\blue{-4}\right)^\green3}&=&\blue{-4} \\ \\ \sqrt[\green4]{\left(\blue{-5}\right)^\green4}&=&\abs{\blue{-5}}&=&\blue{5} \end{array}\]

Productos de raíces

Cuando multiplicamos #\sqrt[\green3]{\blue8}# por #\sqrt[\green3]{\orange{64}}#, obtenemos:

\[\sqrt[\green3]{\blue8} \times \sqrt[\green3]{\orange{64}}=2 \times 4=8=\sqrt[\green3]{512}=\sqrt[\green3]{\blue8 \times \orange{64}}\]

Generalmente, es válida la siguiente afirmación:

El producto de dos raíces (de orden mayor) con el mismo índice es igual a la raíz (de orden mayor) del producto de los números dentro de los símbolos radicales.

También podemos usar la regla al revés:

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces con el mismo índice.

Ejemplos

\[\begin{array}{rcl}\sqrt[\green4]{\blue3}\times \sqrt[\green4]{\orange{27}}&=&\sqrt[\green4]{\blue3 \times \orange{27}} \\ &=& \sqrt[\green4]{81} \\ &=& 3 \\ \\ \sqrt[\green3]{32}&=&\sqrt[\green3]{\blue8 \times \orange4} \\&=& \sqrt[\green3]{\blue8} \times \sqrt[\green3]{\orange4}\\&=&2\sqrt[\green3]{\orange4} \end{array}\]

Si queremos sacar la raíz de orden mayor de una fracción, debemos buscar un número que sea igual a esta fracción cuando está exponenciado. Para #\sqrt[\green3]{\orange{\frac{8}{27}}}#, tratamos de encontrar un número que, elevado a la potencia de #\green3#, sea igual a #\orange{\frac{8}{27}}#. Esto es #\blue{\frac{2}{3}}# porque \[\left(\blue{\frac{2}{3}}\right)^\green3=\frac{\blue2^\green3}{\blue3^\green3}=\orange{\frac{8}{27}}\]

Entonces vemos que:

\[\sqrt[\green3]{\orange{\frac{8}{27}}}=\frac{\sqrt[\green3]{\orange8}}{\sqrt[\green3]{\orange{27}}}=\frac{\blue2}{\blue3}\]

En general, podemos afirmar lo siguiente:

La raíz de orden mayor de una fracción es igual a la raíz con el mismo índice del numerador dividida por la raíz con el mismo índice del denominador.

Ejemplos

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sqrt[\green4]{\orange{\frac{1}{16}}}&=&\displaystyle \frac{\sqrt[\green4]{\orange1}}{\sqrt[\green4]{\orange{16}}} \\ &=& \displaystyle \blue{\frac{1}{2}} \\ \\ \displaystyle \sqrt[\green5]{\orange{\frac{3}{32}}}&=&\displaystyle \frac{\sqrt[\green5]{\orange3}}{\sqrt[\green5]{\orange{32}}} \\ &=& \displaystyle \frac{\blue{\sqrt[\green5]{3}}}{\blue2} \\ \\ \displaystyle \sqrt[\green3]{\orange{\frac{2}{5}}}&=&\displaystyle \frac{\blue{\sqrt[\green3]{2}}}{\blue{\sqrt[\green3]{5}}} \end{array}\]