Números: Potencias y raíces
Raíces cuadradas
Debido a que #\blue3# al cuadrado es igual a #\orange9#, denominamos #\blue3# la raíz cuadrada de #\orange9#. Escribimos esto como:
\[\sqrt{\orange9}=\blue3\]
Generalmente, es válida la siguiente afirmación:
La raíz cuadrada de un #\orange{\textit{número}}# es un #\blue{\textit{número no negativo}}# que es igual al #\orange{\textit{número debajo del}}# #\orange{\textit{signo radical } (\sqrt{\phantom{1}})}# #\text{cuando está al cuadrado}#.
Ten en cuenta que mencionamos que la raíz cuadrada debe ser un número no negativo. Por lo tanto, #\sqrt{\orange9}# #\red{\ne}# #\blue{-3}#, aunque #\left(\blue{-3}\right)^2=\orange9#.
Ejemplos
\[\begin{array}{rclc}\sqrt{\orange1}&=&\blue1 &\text{porque }\blue1^2=\orange1 \text{ y } \blue1 \geq 0\\ \\\sqrt{\orange4}&=&\blue2 &\text{porque }\blue2^2=\orange4 \text{ y } \blue2 \geq 0 \\ \\\sqrt{\orange9}&=&\blue3 &\text{porque }\blue3^2=\orange9 \text{ y } \blue3 \geq 0\\ \\\sqrt{\orange{16}}&=&\blue4 &\text{porque }\blue4^2=\orange{16} \text{ y } \blue4 \geq 0 \end{array}\]
Todas las raíces cuadradas en los ejemplos son números enteros, pero esto no se aplica a todas las raíces cuadradas.
De acuerdo con la definición de la raíz cuadrada, se afirma que \[\left(\sqrt{\orange2}\right)^2=\orange2\]
Debido a que #1^2=1# y #2^2=4#, notamos que #1 \lt \sqrt{\orange2} \lt 2#.
Con una calculadora, encontramos la aproximación #\sqrt{\orange2} \approx 1.41423562....#
Luego, veremos que #\sqrt{\orange2}# no se puede escribir como una fracción y que tiene una cantidad infinita de decimales. Cuando, en los ejercicios, se te pide que no redondees tu respuesta, #\sqrt{\orange2}# se considera, por lo tanto, una respuesta definitiva. Al igual que #1#, #\tfrac{1}{2}# y #0.6#, #\sqrt{\orange2}# es un número.
Hasta ahora, solo hemos visto raíces cuadradas de números no negativos. Eso es porque la raíz cuadrada de los números negativos no existe.
Según la definición de la raíz cuadrada, #\sqrt{\orange{-1}}# debe ser un número que es igual a #\orange{-1}# cuando está al cuadrado.
Sin embargo, si elevamos al cuadrado un número positivo, el resultado siempre es un número positivo. Por lo tanto, un número positivo al cuadrado nunca puede ser #\orange{-1}#.
Un número negativo al cuadrado también es siempre un número positivo. Por lo tanto, un número negativo al cuadrado tampoco puede ser nunca #\orange{-1}#.
Esto significa que #\sqrt{\orange{-1}}# no existe. Solo podemos extraer raíces de números no negativos.
\[\begin{array}{rcl}(\text{positivo})^2&=&\text{positivo} \;\times \text {positivo} \\ &=&\text{positivo} \\ \\ (\text{negativo})^2&=&\text{negativo} \;\times \text {negativo} \\ &=&\text{positivo} \end{array}\]
Cuando calculamos #\sqrt{64}#, buscamos un número no negativo que es igual a #64# cuando está al cuadrado. En este caso: \[8^2=64\] Por lo tanto, #\sqrt{64}=8#.
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