Resolver sistemas de ecuaciones lineales por sustitución

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones con dos incógnitas

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por sustitución

La solución de un sistema corresponde al punto de intersección de las rectas que representan las dos ecuaciones lineales.

Gráfica

geogebra plaatje

Método de sustitución

	Procedimiento	Ejemplo
	Al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando el método de sustitución, usamos el siguiente procedimiento.	Resuelve el siguiente sistema: $\left\{\begin{array}{rcl}2 x +4 y+5&=& 0 \\ -3 x +2 y -4&=& 0 \end{array} \right.$
Paso 1	En la primera ecuación, expresa $x$ en $y$ por medio de la reducción. En otras palabras, escribe la primera ecuación en la forma $x=\ldots$ .	$\left\{\begin{array}{c}x=-2 y-\frac{5}{2} \\-3 x +2 y -4=0 \end{array} \right.$
Paso 2	Sustituye la expresión obtenida por $x$ en la segunda ecuación, de manera que la segunda ecuación solo contenga incógnitas $y$ .	$\left\{\begin{array}{c}x=-2 y-\frac{5}{2} \\-3 \cdot \left(-2 y - \frac{5}{2}\right) +2 y -4=0 \end{array} \right.$
Paso 3	Resuelve la ecuación del paso 2 para $y$ .	$\begin{array}{rcl}-3 \cdot \left(-2 y - \frac{5}{2}\right) +2 y -4&=&0 \\6 y+\frac{15}{2} +2 y -4&=&0 \\8 y + \frac{7}{2}&=&0 \\8 y &=&-\frac{7}{2}\\y &=&-\frac{7}{16} \end{array}$
Paso 4	Determina $x$ usando la primera ecuación del paso 1 sustituyendo el valor por $y$ encontrado en el paso 3.	$\begin{array}{rcl} x&=&-2 y-\frac{5}{2} \\ x&=&-2 \cdot- \frac{7}{16}-\frac{5}{2} \\ x&=&-\frac{13}{8}\end{array}$
Paso 5	Da la respuesta en la forma $\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }$	$\left\{\begin{array}{rcl}x &=&-\frac{13}{8} \\ y &=&-\frac{7}{16} \end{array}\right.$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
$\lineqs{x-7\cdot y&=&-9\cr 6\cdot x-5\cdot y&=&-9\cr }$

$\lineqs{x&=&-{{18}\over{37}}\cr y&=&{{45}\over{37}}\cr }$

Paso 1	Reducimos la primera ecuación a la forma $x=\ldots$ . Encontramos: $\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr 6\cdot x-5\cdot y&=&-9\cr }$
Paso 2	Sustituimos la primera ecuación en la segunda. Encontramos: $\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr 6\cdot\left(7\cdot y-9\right)-5\cdot y&=&-9\cr }$
Paso 3	Con ayuda de expandiendo los paréntesis, simplificando y reduciendo, podemos resolver la segunda ecuación para la incógnita $y$ . Esto se hace de la siguiente manera: $\begin{array}{rcl}&\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr 6\cdot\left(7\cdot y-9\right)-5\cdot y&=&-9\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{el sistema que tenemos que resolver}} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr 42\cdot y-54-5\cdot y&=&-9\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paréntesis expandidos}} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr 37\cdot y-54&=&-9\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr 37\cdot y&=&45\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados de la segunda ecuación menos }-54} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-9\cr y&=&{{45}\over{37}}\cr }& \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados de la segunda ecuación divididos por }37} \end{array}$ Por lo tanto, el valor de $y$ de la solución es $y={{45}\over{37}}$ .
Paso 4	Ahora determinamos $x$ sustituyendo $y={{45}\over{37}}$ en la primera ecuación. Esto se hace de la siguiente manera: $\begin{array}{rcl}&\lineqs{x&=&7\cdot {{45}\over{37}}-9\cr y&=&{{45}\over{37}}\cr }& \\ &&\phantom{xxx}\blue{y={{45}\over{37}} \text{ sustituido en la primera ecuación}} \\ &\lineqs{x&=&-{{18}\over{37}}\cr y&=&{{45}\over{37}}\cr}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculado}} \\ \end{array}$

Por lo tanto, la solución del sistema es: $\lineqs{x&=&-{{18}\over{37}}\cr y&=&{{45}\over{37}}\cr }$

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