La ecuación de una recta

Sistemas de ecuaciones lineales: Una ecuación de una recta

La ecuación de una recta

Hemos visto que las soluciones de la forma #\blue p \cdot x + \green q\cdot y+\purple r=0# tienen una recta como solución. También hemos visto que la fórmula lineal #y = a\cdot x+b# tiene una recta como gráfica. Por lo tanto, hay dos formas de describir la ecuación de una recta.

Ecuación de una recta

Podemos describir la ecuación de una recta de dos maneras diferentes:

Podemos describir la ecuación de una recta como \[\blue p \cdot x + \green q \cdot y+\purple r=0\] en la que #p# y #q# no pueden ser #0#.
Podemos describir la ecuación de una recta como \[\begin{array}{c}y=a \cdot x +b\\ \text{ para una recta oblicua u horizontal o }\\ x=b\\ \text{ para una recta vertical}\end{array}\]

Ejemplo

Las siguientes ecuaciones representan la misma recta:
\[\blue {-2} \cdot x+\green 3 \cdot y+\purple {-1}=0\] \[y=\frac{2}{3} \cdot x +\frac{1}{3}\]

geogebra plaatje

Reducción

Al igual que vimos con Solución a una ecuación lineal con dos incógnitas podemos usar la reducción para reescribir las ecuaciones de la forma #p \cdot x + q \cdot y+r=0# como #y=a \cdot x+b# o #x=b#.

De la misma manera #y=a \cdot x+b# o #x=b# se puede reescribir en la forma #p \cdot x + q \cdot y+r=0# por medio de la reducción.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}
-2x+3y-1 &=& 0 \\
3y-1&=&2x \\
3y&=&2x+1 \\
y&=&\frac{2}{3}x+\frac{ 1 }{ 3}
\end{array}\]

Si es posible, reescribe la ecuación \[-x+7\cdot y=5\] en la forma #y=a\cdot x+b# con los valores correctos de #a# y #b#. Si esto no es posible, escribe #x=b# para el valor correcto de #b#.

#y={{x}\over{7}}+{{5}\over{7}}#

Como el coeficiente de #y# no es igual a cero en la ecuación dada, es posible reducir la ecuación a la forma #y=a\cdot x+b#. Logramos esta forma a través de la reducción:
\[\begin{array}{rcl}
-x+7\cdot y&=&5 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación dada}}\\
7\cdot y&=&x+5 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{sumado }x\text{ a la izquierda y derecha}}\\
y&=&\displaystyle {{x}\over{7}}+{{5}\over{7}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{izquierda y derecha dividido por el coeficiente de }y}
\end{array}\]

Nuevo ejemplo