Sistemas de ecuaciones lineales: Una ecuación de una recta
Solución a una ecuación lineal con dos incógnitas
Hemos visto que una solución a una ecuación lineal con dos incógnitas de la forma #\blue p \cdot x + \green q\cdot y +\purple r=0# es un punto #\rv{x,y}#. En general, hay múltiples soluciones de una ecuación lineal, ahora observaremos cómo se ven estas soluciones. Para ello utilizaremos las mismas reglas de la reducción como para una ecuación lineal con una incógnita.
Resolvamos la ecuación #\blue 3 \cdot x + \green 5 \cdot y +\purple 5=0# de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}3 \cdot x + 5 \cdot y +5&=&0\\&& \blue{\small\text{la ecuación}}\\
5 \cdot y+5&=&-3 \cdot x\\ && \blue{\small\text{ambos lados menos }3 \cdot x}\\5\cdot y &=& -3 \cdot x -5 \\ && \blue{\small\text{ambos lados menos }5}\\ y &=& -\frac{3}{5}x-1\\ && \blue{\small\text{ambas veces divididos por }5}\end{array}\]
Todos los puntos de la recta #{y}=-\tfrac{3}{5} {x}-1# son soluciones de la ecuación.
Resolvamos la ecuación #\green 5 \cdot {y}+\purple 5=0# de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}
5y + 5 &=& 0 \\
&&\blue{\small\text{la ecuación}} \\
5y &=& -5 \\
&&\blue{\small \text{ambos lados menos \(5\)}} \\
y &=& -1 \\
&&\blue{\small \text{ambos lados divididos por \(5\)}} \\
\end{array}\]
Todos los puntos de la recta horizontal #{y}=-1# son soluciones de la ecuación.
Resolvamos la ecuación #\green 3 \cdot {x}+\purple 5=0# de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}
3x + 5 &=& 0 \\
&&\blue{\small\text{la ecuación}} \\
3x &=& -5 \\
&&\blue{\small \text{ambos lados menos \(5\)}} \\
x &=& -\frac{5}{3} \\
&&\blue{\small \text{ambos lados menos \(3\)}} \\
\end{array}\]
Todos los puntos de la recta vertical #{x}=-\tfrac53# son soluciones de la ecuación.
La ecuación contiene ambas variables #x# y #y#. Por lo tanto, la solución es una recta oblicua de la forma #y=a \cdot x +b#. Encontraremos la solución a la ecuación por medio de la reducción:
\[\begin{array}{rcl}
-5\cdot x+6\cdot y+9&=&0\\&& \phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación dada}}\\
-5\cdot x+6\cdot y&=&-9 \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{lado izquierdo y derecho más }-9}\\
6\cdot y&=&5\cdot x-9 \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{en el lado izquierdo y derecho sumado }5\cdot x\text{ }}\\
y&=&\displaystyle {{5\cdot x}\over{6}}-{{3}\over{2}}\\&& \phantom{xxx}\blue{\text{lado izquierdo y derecho dividido por el coeficiente de }y}
\end{array}\]
Por lo tanto, las soluciones de #-5\cdot x+6\cdot y=-9# son iguales a la recta oblicua #y={{5\cdot x}\over{6}}-{{3}\over{2}}#.
Or visit omptest.org if jou are taking an OMPT exam.
