Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones con dos incógnitas

Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación

Hemos visto cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones mediante la sustitución. Existe otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, a saber, el método de eliminación. Este método también se puede aplicar a sistemas con múltiples ecuaciones lineales con múltiples incógnitas, mientras que el uso de sustitución puede ser bastante complicado en el caso de tales sistemas.

Gráfica

geogebra plaatje

Método de eliminación

	Procedimiento	Ejemplo
	Con el método de eliminación para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, procedemos de la siguiente manera.	Resuelve el siguiente sistema: #\lineqs{\quad 2 \cdot x +4 \cdot y+5&= \quad 0 \cr \quad -3 \cdot x +2 \cdot y -4&= \quad 0 \cr}#
Paso 1	Multiplica la primera o segunda ecuación por un número de manera que el coeficiente de #x# o de #y# de ambas ecuaciones sean iguales.	#\lineqs{2 \cdot x +4 \cdot y+5=0 \cr -6 \cdot x +4 \cdot y -8=0 \cr}#
Paso 2	Resta la segunda ecuación de la primera. Ahora nos queda una ecuación con solo #x# o #y#.	#\begin{array}{rcl}2 \cdot x +4 \cdot y+5&=&0 \\ -6 \cdot x +4 \cdot y -8&=&0\\ \hline 8\cdot x+13&=&0\end{array}-#
Paso 3	Resuelve la ecuación lineal del paso 2 usando la reducción.	#x=-\frac{13}{8}#
Paso 4	Sustituye el valor obtenido en el paso 3 en una de las ecuaciones originales para determinar el valor de la incógnita restante.	#\begin{array}{rcl}2 \cdot -\frac{13}{8}+4 \cdot y +5&=&0\\ 4 \cdot y +\frac{7}{4}&=&0\\ 4 \cdot y&=&-\frac{7}{4} \\ y&=&-\frac{7}{16} \end{array}#
Paso 5	Da la respuesta en la forma \[\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }\]	#\lineqs{ x &= \;\; -\frac{13}{8} \\ y &= \;\; -\frac{7}{16} }#

Eliminación adicional

En el paso 4, también es posible volver a realizar los pasos 1 a 3, pero multiplicando las ecuaciones originales para que la incógnita restante tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de eliminación.
\[\lineqs{8\cdot x+8\cdot y&=&2\cr
2\cdot x+8\cdot y&=&3\cr }\]

#\lineqs{x&=&-{{1}\over{6}}\cr y&=&{{5}\over{12}}\cr }#

En el sistema, el coeficiente de #y# en la primera ecuación es igual el coeficiente de #y# en la segunda ecuación. Por lo tanto, podemos eliminar la variable #y# de la primera ecuación reemplazando esta ecuación con la diferencia de las ecuaciones dadas. Por lo tanto, comenzamos con el paso 2 del procedimiento.

Paso 2	\[\begin{array}{rcl}8\cdot x+8\cdot y&=&2 \\ 2\cdot x+8\cdot y&=&3\\ \hline 6\cdot x&=&-1\end{array}-\]
Paso 3	Podemos reducir esta ecuación para encontrar #x#. Esto va de la siguiente manera: \[\begin{array}{rcl} 6\cdot x&=&-1 \\&&\phantom{x}\blue{\text{la ecuación que tenemos que resolver}} \\ x&=& -{{1}\over{6}} \\&&\phantom{x}\blue{\text{ambos lados divididos por }6} \end{array}\]
Paso 4	Sustituimos #x=-{{1}\over{6}}# en la segunda ecuación original. Posteriormente lo resolvemos por medio de la reducción. Esto va de la siguiente manera: \[\begin{array}{rcl} 2\cdot {-{{1}\over{6}}}+8\cdot y &=&3 \\&&\phantom{xyz}\blue{\text{sustituido }x=-{{1}\over{6}} \text{ en la segunda ecuación}}\\ -{{1}\over{3}}+8\cdot y&=&3\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{calculado}}\\ 8\cdot y&=&{{10}\over{3}}\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{sumado }{{1}\over{3}}\text{ a ambos lados}}\\ y&=&{{5}\over{12}}\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{ambos lados divididos por }8} \end{array}\]
Paso 5	Por lo tanto, la solución del sistema es \[\lineqs{x&=&-{{1}\over{6}}\cr y&=&{{5}\over{12}}\cr }\]

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