Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones lineales

Supongamos que para dos números desconocidos dados #x# y #y#, se sabe que son soluciones de las siguientes ecuaciones lineales:

\[\lineqs{3 x +2 y +1&=&0\cr -2 x -3 y -6&=&0\cr}\]

Llamamos a esto un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución del sistema es el punto #\rv{x,y}# que es una solución a ambas ecuaciones lineales. Por tanto, la solución del sistema es el punto de intersección de las dos rectas que representan las ecuaciones lineales.

También podemos escribir el sistema con el signo de "y", que es #\land#. Entonces se ve así:

\[\begin{array}{rcl} 3 x +2 y +1=0 &\land&-2 x -3 y -6=0\end{array}\]

geogebra plaatje

Solución

La solución a

\[\lineqs{3 x +2 y +1&=&0\cr -2 x -3 y -6&=&0\cr}\]

es #\blue x=\blue{\tfrac{9}{5}}# y #\green y=\green{-\tfrac{16}{5}}#, porque #3\cdot \blue{\tfrac{9}{5}} +2\cdot \green{-\tfrac{16}{5}} +1=0# y #-2\cdot \blue{\tfrac{9}{5}} -3 \cdot \green{-\tfrac{16}{5}}-6=0#

Más adelante veremos cómo podemos determinar la solución de un sistema de forma sistemática.

Observa el siguiente sistema de ecuaciones lineales \[\lineqs{5\cdot x-7\cdot y-7=0 \cr -8\cdot x+2\cdot y+5=0 \cr}\] ¿es el punto #\rv{-1, 9}# una solución del sistema?

Si #\rv{-1, 9}# es una solución, entonces ambas ecuaciones tienen que ser verdaderas si sustituimos tanto #x=-1# como #y=9# en las ecuaciones.
En este caso, si sustituimos tanto #x=-1# como #y=9# en el sistema, obtenemos:
\[\lineqs{5\cdot -1-7\cdot 9-7=-75 \ne 0 \cr -8\cdot -1+2\cdot 9+5=31 \ne 0 \cr}\]
Ambas ecuaciones son incorrectas, por lo tanto #\rv{-1, 9}# no es una solución del sistema.

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