Descomposición de fracciones

Funciones: Funciones fraccionarias

Descomposición de fracciones

Hemos visto cómo podemos descomponer fracciones con varios términos en el numerador en una suma de varias fracciones con el mismo denominador. Notemos que no siempre se permite descomponer el denominador. Sin embargo, hay situaciones en las que esto es posible. Esto puede, entre otras cosas, ayudar a integrar este tipo de fracción.

A continuación se muestran algunos ejemplos de situaciones en las que se pueden descomponer fracciones.

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{7x+31}{(x+3) \cdot (x+5)}&=&\dfrac{5}{x+3}+\dfrac{2}{x+5} \\ \\ \dfrac{6x-4}{x\cdot (x-2)}&=&\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x-2} \\ \\ \dfrac{12x+15}{x^2+x-2}&=& \dfrac{9}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}\end{array}\]

Cuando observamos con atención estos ejemplos, vemos que si multiplicamos los denominadores del lado derecho, obtenemos el denominador del lado izquierdo.

Ahora veremos cómo podemos descomponer una fracción de la forma #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}#, en la que el denominador #x^2+bx+c# se puede escribir como #(x+\blue p) \cdot (x+\green q)#.

Descomposición en fracciones paso a paso

	Paso a paso	Ejemplo
	Descomponemos una fracción de la forma #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}# en la cual #x^2+bx+c# se puede escribir como #(x+\blue p)\cdot (x+\green q)#.	#\frac{1}{x^2+5x+6}#
Paso 1	Escribe #x^2+bx+c=(x+\blue p)\cdot (x+\green q)#.	#x^2+5x+6=(x+\blue 2) \cdot (x+\green 3)#
Paso 2	Escribe #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}=\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{x+\green q}#	#\frac{\orange1}{x^2+5x+6}=\frac{A}{x+\blue 2}+\frac{B}{x+\green 3}#
Paso 3	Junta el lado derecho en un denominador y compara los numeradores de ambos lados. Esto da la ecuación: \[\purple l \cdot x+\orange m=A\cdot(x+\green q)+B \cdot (x+\blue p)\]	\[\orange1=A \cdot (x+\green3) + B \cdot (x+\blue2)\]
Paso 4	Simplifica la ecuación del paso 3 eliminando los paréntesis y combinando los términos con #x#. \[\purple l \cdot x+\orange m=\left(A+B\right) \cdot x + A \cdot \green q + B \cdot \blue p \]	\[\orange1=(A+B) \cdot x+\green3A+\blue2B\]
Paso 5	Compón un sistema de ecuaciones lineales comparando los coeficientes de los términos izquierdo y derecho de la ecuación en el paso 4. \[\lineqs{\purple l &=& A+B\cr \orange m &=& A \cdot \green q + B \cdot \blue p\cr}\]	\[\lineqs{A+B&=&\purple0\cr \green3A+\blue2B&=&\orange1\cr}\]
Paso 6	Resuelve el sistema del paso 5 usando la sustitución o la eliminación.	\[\lineqs{A=1 \cr B=-1}\]
Paso 7	Sustituye los valores encontrados en el paso 6 en el lado derecho de la ecuación del paso 2 en busca de la respuesta.	#\frac{1}{x+\blue2}+\frac{-1}{x+\green3}#

p=q

Cuando el denominador cuadrático se puede escribir como #(x+\blue p)^2#, también es posible descomponer las fracciones. Esto funciona de la misma manera, solo que debemos aplicar un pequeño truco dividiendo el paso 2 en #\frac{A}{x+\blue p} + \frac{B}{(x+\blue p)^2}#. Luego podemos usar los pasos a continuación, en los que la diferencia se puede encontrar en el paso 2.

	Paso a paso	Ejemplo
	Descomponemos una fracción de la forma #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}# en la cual #x^2+bx+c# se puede escribir como #(x+\blue p)^2#.	#\frac{x+1}{x^2+6x+9}#
Paso 1	Escribe #x^2+bx+c=(x+\blue p)^2#.	#x^2+6x+9=(x+\blue 3)^2#
Paso 2	Escribe #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}=\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{(x+\blue p)^2}#	#\frac{x+\orange1}{x^2+6x+9}=\frac{A}{x+\blue3}+\frac{B}{(x+\blue3)^2}#
Paso 3	Junta el lado derecho en un denominador y compara los numeradores de ambos lados. Esto da la ecuación: \[\purple l \cdot x+\orange m=A\cdot(x+\blue p)+B \]	\[x+\orange1=A \cdot (x+\blue3) + B\]
Paso 4	Simplifica la ecuación del paso 3 eliminando los paréntesis y combinando los términos con #x#.	\[x+\orange1=A \cdot x+\blue3A+B\]
Paso 5	Compón un sistema de ecuaciones lineales comparando los coeficientes de los términos izquierdo y derecho de la ecuación en el paso 4.	\[\lineqs{A&=&\purple1\cr \blue3A+B&=&\orange1\cr}\]
Paso 6	Resuelve el sistema del paso 5 usando la sustitución o la eliminación.	\[\lineqs{A=1 \cr B=-2}\]
Paso 7	Sustituye los valores encontrados en el paso 6 en el lado derecho de la ecuación del paso 2 en busca de la respuesta.	#\frac{1}{x+\blue3}+\frac{-2}{(x+\blue3)^2}#

General

Este plan paso a paso describe la descomposición en fracciones del denominador para una situación muy específica, pero este método también funciona cuando se escribe el denominador general como un producto. En este curso no abordaremos eso.

Denominador discriminante

El requisito de que #x^2+bx+c# pueda escribirse como #(x+\blue p) \cdot (x+\green q)# es equivalente al requisito de que el discriminante de la ecuación cuadrática #x^2+bx+c=0# sea mayor que #0#.

Además, el requisito de que #x^2+bx+c# pueda escribirse como #(x+\blue p)^2# es equivalente al requisito de que el discriminante de la ecuación cuadrática #x^2+bx+c=0# sea igual que #0#.

Descompón #\frac{3\cdot x+5}{x^2+x-42}# en una suma de dos fracciones con denominadores lineales.

#\frac{3\cdot x+5}{x^2+x-42}=# #\frac{{{23}\over{13}}}{x-6}+\frac{{{16}\over{13}}}{x+7}#

Paso 1	Usando la factorización, encontramos # x^2+x-42 = (x-6) \cdot (x+7) #.
Paso 2	Escribimos #\frac{3\cdot x+5}{x^2+x-42}=\frac{A}{x-6}+\frac{B}{x+7}#
Paso 3	Juntamos las fracciones del lado derecho de la ecuación bajo un denominador común y comparamos los numeradores. Esto da la ecuación: \[3\cdot x+5=A\cdot \left(x+7\right)+B\cdot \left(x-6\right)\]
Paso 4	Simplificamos la ecuación del paso 3 eliminando los paréntesis: \[3\cdot x+5=B\cdot x+A\cdot x-6\cdot B+7\cdot A\]
Paso 5	Componemos un sistema de ecuaciones lineales comparando los coeficientes de las ecuaciones en el paso 4. \[\lineqs{B+A=3 \cr 7\cdot A-6\cdot B=5 \cr}\]
Paso 6	Las soluciones del sistema del paso 5 son iguales a: \[\lineqs{A={{23}\over{13}} \cr B={{16}\over{13}} \cr}\]
Paso 7	Ahora sustituimos los valores del paso 6 en el paso 2. Eso da como respuesta: \[\frac{{{23}\over{13}}}{x-6}+\frac{{{16}\over{13}}}{x+7}\]

Nuevo ejemplo