Ecuaciones con polinomios

Funciones: Polinomios de grado superior

Ecuaciones con polinomios

Las ecuaciones con polinomios de mayor grado no siempre se pueden resolver a mano. Pero aquí echaremos un vistazo a algunas situaciones en las que es fácilmente posible.

\[\blue A \cdot \green B=0\]

\[\blue A=0 \lor \green B=0\]

Ejemplo

\[\begin{array}{c}\blue{x^2}\left(\green{x^2-2}\right)=0 \\ \\ \blue{x^2}=0 \lor \green{x^2-2}=0 \end{array}\]

\[\blue{A}^2=\green{B}^2\]

\[\blue{A}=\green{B} \lor \blue{A}=-\green{B}\]

Ejemplo

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4x}\right)^2=\green{x}^2 \\ \\ \blue{x^2-4x}=\green{x} \lor \blue{x^2-4x}=-\green{x} \end{array}\]

Podemos probar esta regla mediante reducción, factorización y la regla #A \cdot B=0# solamente si #A=0 \lor B=0#. Esto se hace de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl}A^2&=&B^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación que necesitamos resolver}} \\ A^2-B^2&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados menos }B^2} \\ \left(A-B\right)\left(A+B\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorizado}} \\ A-B=0 &\lor& A+B=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=B &\lor& A=-B \\ &&\phantom{xxx}\blue{B \text{ movido al otro lado}} \end{array}\]

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C}\]

\[\blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}\]

Ejemplo

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\left(\purple{6x-8}\right) \\\\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = \purple{6x-8}\end{array}\]

Podemos probar esta regla mediante reducción, factorización y la regla #A \cdot B=0# solamente si #A=0 \lor B=0#. Esto se hace de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl}A \cdot B&=&A \cdot C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación que necesitamos resolver}} \\ A \cdot B - A \cdot C&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados menos }A \cdot C} \\ A\cdot \left(B-C\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorizado}} \\ A=0 &\lor& B-C=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=0 &\lor& B=C\\ &&\phantom{xxx}\blue{C \text{ movido al otro lado}} \end{array}\]

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \]

\[\blue{A}=0 \lor \green{B}=1\]

Ejemplo

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\ \\ \\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = 1\end{array}\]

Esto se puede probar fácilmente eligiendo #\purple{C}=1# en la regla anterior

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C} \Leftrightarrow \blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}\]

Resuelve #x# en
\[\left(x^3-7\right)\left(1-x^2\right)=0\]
Da tu respuesta en la forma #x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n#, donde #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# son números exactos (sin valores decimales) y #n# es el número de soluciones.

# x=7^{{{1}\over{3}}} \lor x=-1 \lor x=1 #

#\begin{array}{rcl}
\left(x^3-7\right)\left(1-x^2\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación que necesitamos resolver}} \\
x^3-7=0 &\lor& 1-x^2=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A \cdot B =0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\
x^3=7 &\lor& -x^2=-1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{las constantes se movieron a la derecha}} \\
x^3=7 &\lor& x^2=1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dividido por el coeficiente delante del término con }x} \\
x=7^{{{1}\over{3}}} &\lor& x=-1 \lor x=1
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la raíz extraída}} \\
\end{array}#

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