Funciones: Funciones fraccionarias
División larga con polinomios
Si el grado del numerador de una función cociente es mayor o igual que el grado del denominador, podemos escribir la función cociente como la suma de un cociente y un resto. El cociente es un polinomio y el resto es a su vez una función cociente.
Cada función de la forma
\[f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}\]
donde #\blue p# y #\orange q# son polinomios y #\text{grado }\blue{p(x)} \geq \text{grado } \orange{q(x)}#,
se puede reescribir usando la división larga de la forma
\[f(x) = \green{s(x)}+\frac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}\]
donde #\green s# es un polinomio y #\text{grado }\purple{r(x)} < \text{grado }\orange{q(x)}#.
Ejemplo
\[ f(x) = \frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \]
nos da
\[f(x) = \green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}}\]
Usamos la siguiente guía paso a paso para la división de polinomios usando la división larga.
División larga
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Paso a paso |
Ejemplo |
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Para la función cociente usamos la división larga \[f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}\] |
\[f(x)=\frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}}\] |
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| Paso 1 |
Forma la división larga de la siguiente manera: #\require{enclose} |
\[ \require{enclose} |
| Paso 2 |
Ahora encuentra una #\green{\text{expresión}}# tal que si se multiplica por #\orange{q(x)}#, el término de mayor grado es igual al término de mayor grado de #\blue{p(x)}#. En el ejemplo de la derecha, elegimos #\green{2x}# porque #\green{2x} \cdot (\orange{x+1})# es igual a #2x^2+2x#. Ponemos este término #\green{2x}# por encima de la recta en la división larga. Ahora resta la expresión obtenida de #\blue{p(x)}# para obtener una expresión #\purple{r(x)}#. En el ejemplo, encontramos #\purple{3x+5}#. Repite este proceso hasta que #\text{grado }\purple{r(x)} < \text{grado }\orange{q(x)}#. |
# \require{enclose} |
| Paso 3 | Ahora se deduce que \[ \begin{array}{rcl} f(x) &=& \dfrac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}} \\
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\[\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \\ |
| Paso 1 | Primero componemos la división larga: \[\require{enclose} |
| Paso 2 | La división larga da \[ \require{enclose} |
| Paso 3 | De acuerdo con la teoría, ahora se deduce que \[\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{{5x+7}}{{5x+6}} \\
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