Transformaciones de las funciones de raíz

Funciones: Funciones de potencia y funciones de raíz

Transformaciones de las funciones de raíz

Transformaciones

Podemos transformar la función #f(x)=\sqrt{x}# de tres formas diferentes.

	Transformaciones	Ejemplos
1	Desplazamos la gráfica de #f(x)=\sqrt{x}# hacia arriba por #\green q#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\sqrt{x}+\green q\] Entonces el origen también se desplaza hacia arriba por #\green q# y se convierte en igual a #\rv{0, \green q}#. Por lo tanto, el rango de la función se convierte en igual a #\ivco{\green q}{\infty}#. El dominio no cambia.	que se desplaza #f(x)=\sqrt{x}# hacia arriba por#\green3# da #f(x)=\sqrt{x}+\green3#
2	Desplazamos la gráfica de #f(x)=\sqrt{x}# a la derecha por #\blue p#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\sqrt{x-\blue p}\] Entonces el origen también se desplaza a la derecha por #\blue p# y se convierte en igual a #\rv{\blue p, 0}#. Por lo tanto, el dominio de la función se convierte en igual a #\ivco{\blue p}{\infty}#. El rango no cambia.	que se desplaza #f(x)=\sqrt{x}# a la derecha por #\blue2# da #f(x)=\sqrt{x-\blue 2}#
3	Multiplicamos la gráfica de #f(x)=\sqrt{x}# por #\purple a# relativo al eje #x#. La nueva función se convierte en \[f(x)=\purple a \sqrt{x}\] Si es #\purple a \gt 0#, el origen no cambia. El dominio y el rango también siguen siendo los mismos que con la función anterior. Al multiplicar por #\purple a \lt 0# la función se invierte. El origen y el dominio siguen siendo los mismos, pero el rango se vuelve igual a #\ivoc{-\infty}{0}#. Si es #\purple a =-1#, entonces tenemos una reflexión en el eje #x# de la gráfica anterior.	multiplicando #f(x)=\sqrt{x}# por #\purple4# relativo al eje #x# da #y=\purple4 \sqrt{x}#

Varias transformacionesTambién podemos aplicar varias transformaciones una tras otra.

Por ejemplo: #f(x)=\purple3 \sqrt{x-\blue4}# primero un desplazamiento de #\blue4# a la derecha y luego una multiplicación por #\purple3# relativo al eje #x# de la función de raíz #f(x)=\sqrt{x}#.

Mira las dos gráficas siguientes.

La fórmula de la gráfica azul es:
\[y=\sqrt{x}\]
¿Cuál es la fórmula de la gráfica verde?

#y=# #\sqrt{x-1}#

La gráfica azul tiene el origen #\rv{0,0}#; investigamos dónde está este mismo punto en la gráfica verde. En la gráfica verde, este mismo punto se encuentra en #\rv{1,0}#.
Por lo tanto, la gráfica verde se obtiene desplazando la gráfica azul #1# unidades a la derecha.
Por lo tanto, reemplazamos todas las apariciones de #x# en la fórmula de la gráfica azul #y=\sqrt{x}# por #x-1#. Esto da la siguiente fórmula para la gráfica verde:
\[y=\sqrt{x-1}\]

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