Desigualdades de grado superior

Funciones: Polinomios de grado superior

Desigualdades de grado superior

De la misma manera que resolvemos una desigualdad cuadrática, también podemos resolver una desigualdad con polinomios de grado superior.

Resolución de una desigualdad de grado superior

	Procedimiento	Ejemplo
	Resolvemos la siguiente desigualdad \[\blue{f(x)} \gt \green{g(x)}\] en la cual #\blue{f(x)}# y #\green{g(x)}# son polinomios.	#\blue{x^6+x^3+6} \gt \green{-2x^3+10}# La solución es #x \lt \sqrt[3]{-4} \land x \gt 1#.
Paso 1	Resolvemos la igualdad \[\blue{f(x)} = \green{g(x)}\]
Paso 2	Trazamos las gráficas #\blue{f(x)}# y #\green{g(x)}#.
Paso 3	Con la ayuda de los pasos 1 y 2, determina para qué valores de #x# se mantiene la desigualdad. En un sistema de coordenadas, la gráfica más grande es la que está encima de la otra.

Ten en cuenta que este procedimiento también se aplica a los signos de desigualdad #\geq# y #\leq#, solo que ahora los valores #x# de los puntos de intersección también son parte de la solución.

Todo o nadaSi no se encuentran puntos de intersección en el paso 1, entonces hay dos opciones con respecto a la solución de la desigualdad.

todos los puntos de #x# son una solución para la desigualdad. La desigualdad siempre es verdadera.
ningún punto de #x# es una solución para la desigualdad. La desigualdad nunca es verdadera.

Lo mismo puede suceder como si en el paso 1 se encontrara un punto de intersección, pero cuando es solo un punto de tangencia. Entonces solo son iguales en ese punto y la desigualdad es verdadera o no.

Paso alternativo 2

En lugar de trazar las gráficas, también podemos hacer el paso #2# sustituyendo algunos valores #x# en #\blue{f(x)}# y #\green{g(x)}#, por lo que podemos ver en qué intervalos se mantiene la afirmación #\blue{f(x)}\gt \green{g(x)}#.

Solo en los puntos de intersección de #\blue{f(x)}# y #\green{g(x)}#, puede cambiar qué función es más grande. Por lo tanto, tomar un punto en cada intervalo es suficiente para saberlo.

En el ejemplo anterior y a la derecha, los puntos de intersección de #\blue{f(x)}# y #\green{g(x)}# son los valores #x = \sqrt[3]{-4}# y #x=1#. Entonces elegimos un valor #x# menor que # \sqrt[3]{-4}#, un valor #x# entre #x= \sqrt[3]{-4}# y #x=1#, y un valor #x# mayor que #1#. Esto nos da toda la información que necesitamos saber si #\blue{f(x)}# es más grande que #\green{g(x)}#.

Ejemplo

En el ejemplo anterior, sustituimos algunos valores #x#.

#\blue f(-2)=62 \gt \green g(-2)=26 #

#\blue f(0)=6 \lt\green g(0)=10#

#\blue f(2)=78 \gt \green g(2)=-6#

El paso 3 nos da que la solución es #x \lt \sqrt[3]{-4} \land x \gt 1#, porque la desigualdad se mantiene para #x=-2# y #x=2#.

Resuelve #t# en la desigualdad
\[t^6-2\cdot t^3-10\cdot t-22 \gt -10\cdot t-7\tiny\]
Da tu respuesta en la forma

#t \gt t_1\land t \lt t_2# o #t\lt t_1 \lor t \gt t_2#,
#t \lt t_1# o #t \gt t_1#,
#ninguna# o #todos#,

con los valores correctos de #t_1# y #t_2#.

#t\lt -3^{{{1}\over{3}}}\lor t\gt 5^{{{1}\over{3}}}#

Paso 1	Resolvemos la igualdad #t^6-2\cdot t^3-10\cdot t-22=-10\cdot t-7#. Esto se hace así: \[\begin{array}{rcl} t^6-2\cdot t^3-10\cdot t-22&=&-10\cdot t-7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ecuación original}}\\ t^6-2\cdot t^3-15&=&0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{reducida a }0}\\ \left(t^3-5\right)\cdot \left(t^3+3\right)&=&0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{lado izquierdo factorizada}}\\ t^3-5=0 &\lor& t^3+3=0 \\&&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \text{ solamente si }A=0\lor B=0}\\ t=5^{{{1}\over{3}}} &\lor& t=-3^{{{1}\over{3}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{términos constantes al lado derecho y tomada la raíz}}\\ \end{array} \]
Paso 2	Trazamos las gráficas #y=t^6-2\cdot t^3-10\cdot t-22# (azúl ininterrumpida) y #y=-10\cdot t-7# (verde punteada).
Paso 3	Podemos leer las soluciones de la desigualdad en la gráfica. \[t\lt -3^{{{1}\over{3}}}\lor t\gt 5^{{{1}\over{3}}}\]

Nuevo ejemplo