Inversa de la función racional lineal

Funciones: Funciones fraccionarias

Inversa de la función racional lineal

Hemos visto que determinar la función inversa es lo mismo que aislar la variable #x# en una fórmula de la forma #y=\ldots#. Ahora investigaremos cómo hacer eso para funciones racionales lineales.

	Procedimiento Determinamos la función inversa de la función racional lineal #\green{y}=\frac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}# con #a# , #b#, #c# y #d# como números.	Ejemplo #\green{y}=\frac{2\blue{x}-5}{3\blue{x}+2}#
Paso 1	Multiplica por el denominador de la fracción: #c\blue{x}+d#.	#\green{y} \left(3\blue{x}+2\right)=2\blue{x}-5#
Paso 2	Expande los paréntesis.	#3\blue{x}\green{y}+2 \green{y}=2\blue{x}-5#
Paso 3	Mediante reducción mueve los términos sin #x# a la derecha y los términos con una #x# al lado izquierdo.	#3\blue{x}\green{y}-2\blue{x}=-2 \green{y}-5#
Paso 4	Mueve #x# fuera de los paréntesis.	#\blue x \left(3 \green{y}-2\right)=-2 \green{y}-5#
Paso 5	Divide por lo que hay entre paréntesis, de modo que solo tengamos #x# en el lado izquierdo.	#\blue x=\frac{-2 \green{y}-5}{3 \green{y}-2}#
Paso 6	Intercambia la #\blue x# por una #\green y# y la #\green y# en una #\blue x# para obtener la función inversa.	#\green y=\frac{-2 \blue{x}-5}{3 \blue{x}-2}#

Aislar una variable o determinar la inversaSi la pregunta es aislar la variable #x# en la fórmula, no tenemos que realizar el paso 6 del procedimiento. Estamos listos después del paso 5.

Por otro lado, si se nos pide que determinemos la función inversa de una función de la forma #f(x)=\tfrac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}# primero reemplazamos #f(x)# con #\green y# y luego realizamos el procedimiento. Al final, después del paso 6, podemos reemplazar #\green y# de nuevo con #f^{-1}(x)#.

Aísla #x# en
\[y={{-3\cdot x-9}\over{-5\cdot x-7}}\]

#x={{9-7\cdot y}\over{5\cdot y-3}}#

#\begin{array}{rcl}
y&=&{{-3\cdot x-9}\over{-5\cdot x-7}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la función original }}\\
y \cdot \left(-5\cdot x-7\right)&=& -3\cdot x-9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados divididos por }-5\cdot x-7}\\
-5\cdot x\cdot y-7\cdot y&=&-3\cdot x-9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paréntesis expandidos}}\\
3\cdot x-5\cdot x\cdot y &=&7\cdot y-9 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{términos con } x \text{ al lado izquierdo, términos sin }x \text{ al lado derecho }}\\
x\cdot \left(3-5\cdot y\right) &=& 7\cdot y-9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{x \text{ se movieron fuera de los paréntesis}}\\
x&=&{{9-7\cdot y}\over{5\cdot y-3}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{divididos por }3-5\cdot y}\\
\end{array}#

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