La fórmula cuadrática

Ecuaciones cuadráticas: Resolver ecuaciones cuadráticas

La fórmula cuadrática

La ecuación #x^2+5x+5=0# es un ejemplo de una ecuación cuadrática que no puede resolverse por factorización. Podríamos resolver esta ecuación a través de completando el cuadrado, pero este método puede llevar mucho tiempo, especialmente cuando las ecuaciones se vuelven más complejas.

Por esta razón, la fórmula cuadrática, que se deriva del método de completando el cuadrado, se usa comúnmente para resolver ecuaciones cuadráticas que no se pueden resolver mediante la factorización.

Fórmula cuadrática y discriminante

Las soluciones de una ecuación cuadrática en la forma \[\blue ax^2+\green bx+\purple c=0\] son:

\[x=\frac{-\green b-\sqrt{\orange D}}{2 \blue a} \lor x=\frac{-\green b+\sqrt{\orange D}}{2 \blue a}\]

#\orange D# se llama el discriminante y se calcula de la siguiente manera:

\[\orange D =\green b^2-4\blue a \purple c\]

El valor de #\orange D# determina cuántas soluciones hay:

Si #\orange D \lt 0# entonces no hay soluciones.

Si #\orange D = 0# hay una solución, a saber #x=\frac{-\green b}{2\blue a}#.

Si #\orange D \gt 0# entonces hay dos soluciones.

Llamamos a esto la fórmula cuadrática.

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\[\begin{array}{rcl}\blue a x^2+\green b x +\purple c&=&0 \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{la ecuación original}}\\
x^2+\frac{\green b}{\blue a} x +\frac{\purple c}{\blue a}&=&0 \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{dividido a ambos lados por }a } \\
\left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\left(\frac{\green b}{2 \blue a}\right)^2+\frac{\purple c}{\blue a}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{se completó el cuadrado}}\\ \left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\frac{\green b^2}{4 \blue a^2}+\frac{4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{simplificado }\left(\frac{b}{2a}\right)^2\text{ y se creó un denominador común}}\\
\left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}&=&0\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{se sumaron las fracciones}}\\
\left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2&=&\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{se transfirió la constante al lado derecho}}\\
x+\frac{\green b}{2\blue a}=-\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} &\lor& x+\frac{\green b}{2\blue a}=\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{se sacó la raíz cuadrada de ambos lados}}\\ x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{se restó }\frac{b}{2a} \text{ de ambos lados}}\\
x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{\sqrt{4 \blue a^2}} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{\sqrt{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{se escribió la raíz de una fracción como la fracción de dos raíces}} \\
x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{2\blue a} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{2 \blue a} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{se simplificó }} \\
x=\frac{-\green b-\sqrt{\green b^2-4\blue a \purple c}}{2\blue a} &\lor& x=\frac{-\green b+\sqrt{\green b^2-4\blue a \purple c}}{2\blue a} \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{se sumaron las fracciones}}\end{array}\]

Escribir la expresión #\green b^2-4\blue a \purple c# como #\orange D# da como resultado la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

	Procedimiento	Ejemplo
	Resolver una ecuación cuadrática para #x# utilizando la fórmula cuadrática	#3x^2+2x+5=4x+8#
Paso 1	Reduce la ecuación a la forma #\blue ax^2+\green bx+\purple c=0#.	#\blue 3x^2\green{-2}x\purple{-3}=0#
Paso 2	Identifica #\blue a#, #\green b# y #\purple c#.	#\blue a =\blue3# , #\green b=\green{-2}# y #\purple c = \purple{-3}#
Paso 3	Calcula el discriminante #\orange D=\green b^2-4\blue a \purple c#.	#\orange D=(\green{-2})^2-4\cdot \blue3 \cdot (\purple{-3})=\orange{40}\gt0#
Paso 4	Determina el número de soluciones. Si #D \gt 0#, hay #2# soluciones. Si #D=0#, hay una solución. Si #D \lt 0#, entonces no hay soluciones.	Hay dos soluciones.
Paso 5	Calcula las soluciones, simplifica tanto como sea posible. \[x=\frac{-\green b-\sqrt{\orange D}}{2 \blue a} \lor x=\frac{-\green b+\sqrt{\orange D}}{2 \blue a}\]	# \begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{-(\green{-2})-\sqrt{\orange{40}}}{2 \cdot \blue{3}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3} \\ &\lor& \\ x&=&\dfrac{-(\green{-2})+\sqrt{\orange{40}}}{2 \cdot \blue3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}\end {array} #

Resuelve #x# en \[x^2+x-1=0\]
Escribe:

#ninguna# si no hay solución,
#x=a# si hay una solución,
#x=a \lor x=b# si hay dos soluciones,

con los valores exactos correctos (sin números decimales) de #a# y #b#.

#x={{-\sqrt{5}-1}\over{2}}\lor x={{\sqrt{5}-1}\over{2}}#

Resolvemos la ecuación con la fórmula cuadrática. La ecuación ya está reducida a #0#. Por lo tanto, comenzamos en el paso 2 del procedimiento.

Paso 2	Identificamos #a#, #b# y #c#. #a=1#, #b=1# y #c=-1#
Paso 3	Calculamos el discriminante. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula para discriminante}}\\ &=& 1^2-4\cdot 1\cdot (-1)\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula ingresada}}\\ &=& 5 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{calculado}}\end{array}\]
Paso 4	El discriminante #D \gt 0#, por lo tanto, el número de soluciones es #2#.
Paso 5	Determinamos las soluciones de la ecuación. \[\begin{array}{rcl}x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula para soluciones}}\\ x=\frac{{-1}-\sqrt{5}}{2 \cdot 1} &\lor& x=\frac{{-1}+\sqrt{5}}{2 \cdot 1} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula ingresada }}\\ x={{-\sqrt{5}-1}\over{2}} &\lor& x={{\sqrt{5}-1}\over{2}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}\\ \end{array}\]

La gráfica de la fórmula #y=x^2+x-1# se dibuja a continuación. Las coordenadas #x# de los puntos de intersección de la gráfica con el eje #x# son las soluciones de la ecuación.

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