Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

Ecuaciones cuadráticas: Resolver ecuaciones cuadráticas

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

Anteriormente, aprendimos cómo hacer factorización con paréntesis simples y con paréntesis dobles. Ahora aplicaremos estas habilidades para resolver ecuaciones cuadráticas.

El producto es cero

Una ecuación en la forma \[\blue A \cdot \green B =0\]

nos da

\[\blue A=0 \lor \green B=0\]

Ejemplo

\[ \left(\blue{x-2}\right) \left(\green{x+4}\right)=0 \]

nos da

\[\blue{x-2}=0 \lor \green{x+4}=0 \]

Recuerda que todo lo multiplicado por #0# siempre es igual a #0#.

Considera la ecuación #\blue A \cdot \green B =0#. Aquí, es posible distinguir los siguientes casos.

#\blue A =0# y #\green B=0#

En este caso, la ecuación se convierte en #\blue0 \cdot \green0 = 0#.

#\blue A =0# y #\green B \ne 0#

En este caso, la ecuación se convierte en #\blue0 \cdot \green B = 0#.

#\blue A \ne 0# y #\green B =0#

En este caso, la ecuación se convierte en #\blue A \cdot \green0 =0#.

#\blue A \ne 0# y #\green B \ne 0#

En este caso, la ecuación se convierte en #\blue A \cdot \green B \ne 0#.

En conclusión, la ecuación #\blue A \cdot \green B =0# se cumple si y solo si #\blue A=0# o #\green B=0#.

Al aplicar este teorema, podemos resolver rápidamente una ecuación cuadrática que se puede factorizar.

Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

	Procedimiento	Ejemplo
	Resolver una ecuación cuadrática para #x# por factorización.	#2x^2+6x+4=6x+6#
Paso 1	Reduce la ecuación hasta que el lado derecho sea igual a #0#.	#2x^2-2=0#
Paso 2	Asegúrate de que el coeficiente de #x^2# es igual a #1#.	#x^2-1=0#
Paso 3	Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.	#\left(\blue{x+1}\right) \left(\green{x-1}\right)=0#
Paso 4	Aplicando la regla #\blue A \cdot \green B =0# da #\blue A=0 \lor \green B=0#.	#\blue{x+1}=0 \lor \green{x-1}=0#
Paso 5	Resuelve las ecuaciones #\blue A=0# y #\green B=0#.	#x=-1 \lor x=1#

No siempre es aplicable

Como vimos antes, no todas las expresiones cuadráticas se pueden factorizar. En consecuencia, no todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver siguiendo el procedimiento descrito anteriormente. Más adelante, presentaremos un método que funciona para todas las ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, este método requiere más trabajo y, por lo tanto, es recomendable verificar primero si una ecuación cuadrática se puede resolver mediante factorización.

Resuelve #x# mediante factorización en la ecuación
\[x^2+14\cdot x+45=0\tiny\]
Da tu respuesta final en la forma #x=a\lor x=b#, en la cual #a# y #b# son números.

#x = -5 \lor x = -9#

\[\begin{array}{rcl}
x^2+14\cdot x+45&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ecuación original}}\\
\left(x+5\right)\cdot \left(x+9\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{lado izquierdo factorizado}}\\
x+5=0& \lor& x+9=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \text{ si y solo si }A=0\lor B=0}\\
x = -5 &\lor& x = -9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{términos constantes movidos a la derecha}}\\
\end{array}\]

Nuevo ejemplo