Desigualdades lineales

Fórmulas y ecuaciones lineales: Ecuaciones lineales y desigualdades

Desigualdades lineales

Además de saber cuándo dos fórmulas lineales son iguales, también puede ser interesante saber cuándo una fórmula lineal es mayor que la otra. Por lo tanto, veremos cómo resolver desigualdades lineales.

Desigualdades lineales y gráficas

Estamos interesados en el caso donde la fórmula # \blue{y=3 \cdot x+1}# es menor que la fórmula # \green{y=x-3}#. Escribimos esto de la siguiente manera:

\[\blue{3 \cdot x+1} < \green{x-3} \]

Esto significa que nos interesa cuando la gráfica azul está debajo de la gráfica verde.

Vemos en la gráfica que esa es la solución a la desigualdad: \[\orange{x\lt -2}\]

geogebra plaatje

Desigualdades lineales

Una desigualdad lineal describe cuándo una fórmula lineal es mayor o menor que la otra.

Para escribir desigualdades lineales, usamos los siguientes signos: #\lt#; #\leq#; #\gt# y #\geq#. Aquí #\lt# significa menor que; #\leq# menor que o igual a; #\gt# mayor que, y #\geq# mayor que o igual a.

La solución de una desigualdad lineal es de la forma: #x\lt a#; #x\leq a#; #x \gt a# o #x \geq a#.

Ejemplos

\[\begin{array}{rcl}3 \cdot x+1&\lt&2 \\\\ 2 \cdot x -4 &\gt& -2 \cdot x +1 \\\\ 5 \cdot x&\leq& 3 \cdot x-1 \end{array}\]

Al igual que con las ecuaciones lineales, cuando trabajamos con desigualdades lineales, hay un par de pasos que podemos realizar, manteniendo la desigualdad equivalente.

Desigualdades equivalentes

Dos desigualdades con exactamente la misma solución se llaman equivalentes. Para indicar que dos desigualdades son equivalentes, podemos usar el símbolo #\Leftrightarrow#.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}2x+2 \lt 1 &\Leftrightarrow&2x \lt -1 \end{array}\]

Con la ayuda de algunas reglas, podemos reducir las desigualdades a la forma #x\lt a#; #a\leq a#; #x \gt a# o #x \geq a#. Estas reglas son muy similares a las reglas de reducción con ecuaciones. Vamos a echarles un vistazo una por una.

Dos desigualdades son equivalentes si se suma o se resta el mismo término de ambos lados.

Las desigualdades equivalentes generalmente se escriben una debajo de la otra, como se muestra a la derecha.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}3x+4&\gt&5 \\ 3x+4-4&\gt& 5-4 \\ 3x&\gt&1 \end{array}\]

Dos desigualdades son equivalentes si multiplicas ambos lados por el mismo número positivo, o divides por el mismo número positivo.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl} 3x &\lt& 6 \\ \dfrac{3x}{3}&\lt& \dfrac{6}{3} \\ x&\lt& 2\end{array}\]

Dos desigualdades son equivalentes si multiplicas ambos lados por el mismo número negativo y cambias de signo, o si divides ambos lados por el mismo número negativo y cambias el signo.

Cuando decimos "cambiar de signo", queremos decir que el signo se convierte en el signo opuesto. Por lo tanto:

#\lt# se convierte en #\gt#	#\gt# se convierte en #\lt#
#\leq# se convierte en #\geq#	#\geq# se convierte en #\leq#

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}-3x &\lt& 6 \\ \dfrac{-3x}{-3}&\gt &\dfrac{6}{-3} \\ x&\gt& -2 \end{array}\]

Con estas reglas, podemos reducir desigualdades lineales. En los siguientes ejemplos, mostraremos cómo se hace.

Determina cada #x# en #20\cdot x+4\lt -3\cdot x-9#.

Da tu respuesta en una de las siguientes formas con un número adecuado para #a#.

#x \lt a#
#x\gt a#
#x\le a#
#x\ge a#

Simplifica #a# tanto como sea posible.

# x \lt -{{13}\over{23}}#

#\begin{array}{rcl} 20x+4 &\lt & -3x-9\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{dado}} \\
23x &\lt& -13 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se resta }4-3x \text{ en ambos lados}}\\
x &\lt& -{{13}\over{23}}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{dividido por } 23 \text{ en ambos lados, porque }23 \text{ es positivo,} \\
\text{el signo de desigualdad no cambia}}\\
\end{array}#

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