Ecuaciones lineales

Fórmulas y ecuaciones lineales: Ecuaciones lineales y desigualdades

Ecuaciones lineales

Acabamos de ver que las fórmulas lineales pueden cruzarse. Si dos fórmulas lineales se cruzan, es interesante saber dónde se encuentra este punto de intersección. A veces, esto se puede leer fácilmente en la gráfica, pero a menudo no es realmente preciso. Por lo tanto, presentaremos un método para determinar el punto de intersección de dos fórmulas lineales. En primer lugar, nos centraremos en determinar la coordenada #x# de este punto de intersección.

Ecuación lineal

Si estableces dos fórmulas iguales entre sí, obtienes una ecuación lineal. Por ejemplo, considera las fórmulas #\blue{y=x+1}# y #\green{y=2x}#. Si igualamos estas dos, obtenemos la ecuación lineal \[x+1=2x\] La solución de la ecuación lineal con incógnita #x# es el valor de #x# para el cual la ecuación es correcta.

geogebra plaatje

Ahora veremos cómo resolver una ecuación lineal. Por lo tanto, realizamos algunos pasos, manteniendo las ecuaciones iguales. A esto lo llamamos ecuaciones equivalentes.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones con exactamente la misma solución se llaman equivalentes. Para indicar esta equivalencia, usamos el símbolo #\Leftrightarrow#.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl}2x+2=1 &\Leftrightarrow&2x=-1 \\ \\ 3x=2 &\Leftrightarrow& 6x=4 \end{array}\]

Hay algunas reglas con las que podemos hacer ecuaciones equivalentes. Con estas reglas podemos reescribir sistemáticamente la ecuación lineal a la forma #x=a#, donde #a# es un número. A esto se le llama reducir la ecuación. Ahora hablaremos sobre los pasos permitidos.

Dos ecuaciones son equivalentes si podemos sumar o restar el mismo término en ambos lados.

Por lo general, ponemos las ecuaciones equivalentes una debajo de la otra, como en el lado derecho aquí.

Ejemplo

\[\begin{array}{rrcl}&3x+4&=&5\\ &3x+4-4&=&5-4 \\ & 3x&=&1\end{array}\]

Balanza

Esta regla se puede explicar considerando la ecuación como una balanza tradicional. Aquí tenemos dos tipos de bloques. Bloques de #x# kilos (los términos con #x#) y bloques de #1# kilo (los números).

A la izquierda de la balanza tenemos el lado izquierdo de la ecuación y a la derecha tenemos el lado derecho de la ecuación. La balanza está en equilibrio, ya que ambos lados de la expresión son iguales.

Si añadimos un bloque de #x# en ambos lados de la ecuación, la balanza permanece en equilibrio. Lo mismo se aplica para quitar bloques de 1 kilo (números) en lugar de #x# kilos.

Ejemplo

Si consideramos la ecuación #4x+2=3x+5#, el lado izquierdo de la balanza contiene #4# bloques de #x# kilos y #2# bloques de #1# kilo. Al lado derecho de la balanza, tenemos #3# bloques de #x# kilos y #5# bloques de #1# kilo.

	Lado izquierdo de la balanza	Lado derecho de la balanza
Ecuación original	#4# bloques de #x# kilos y #2# bloques de #1# kilo	#3# bloques de #x# kilos y #5# bloques de #1# kilo
En ambos lados, quita #2# bloques de #1# kilo	#4# bloques de #x# kilos	#3# bloques de #x# kilos y #3# bloques de #1# kilo
En ambos lados, quita #3# bloques de #x# kilos	#1# bloque de #x# kilos	#3# bloques de #1# kilo

En los tres pasos, la balanza está en equilibrio, ya que hicimos lo mismo en ambos lados de la balanza. Por eso, ahora sabemos que el bloque de #x# pesa #3# kilos. Por lo tanto, la solución de la ecuación es #x=3#.
Esto lo podemos comprobar ingresando #x=3# en la ecuación original: \[4 \cdot 3 +2 = 3 \cdot 3 +5\]

Dos ecuaciones son equivalentes si multiplicas o divides ambos lados por el mismo número. Este número no puede ser igual a #0#.

Ejemplo

\[\begin{array}{rcl} \frac{1}{2}\cdot x+2&=&5 \\ 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot x+2\right)&=&2 \cdot 5 \\ x+4&=&10 \end{array}\]

Balanza

Una vez más, esta regla se puede explicar mediante una balanza. Si ambos lados de la balanza están en equilibrio y ponemos exactamente el doble de la cantidad original en ambas balanzas, la balanza aún está en equilibrio. Lo mismo ocurre si ponemos exactamente tres veces la cantidad original a ambos lados de la balanza, o la mitad de la cantidad original.

Ejemplo

Si tenemos la ecuación #4x=8#, tenemos #4# bloques de #x# kilos al lado izquierdo de la balanza. Al lado derecho de la balanza tenemos #8# bloques de #1#.

	Lado izquierdo de la balanza	Lado derecho de la balanza
Ecuación original	#4# bloques de #x# kilos	#8# bloques de #1# kilo
Divide ambos lados por #4#	#1# bloque de #x# kilos	#2# bloques de #1# kilo

En ambos pasos, la balanza está en equilibrio. Por lo tanto, un bloque de #x# kilos pesa #2#. La solución de la ecuación original es #x=2#. Esto lo podemos comprobar ingresando #x=2# en la ecuación original. Entonces, tenemos:

\[4 \cdot 2 =8\]

Con la ayuda de estos dos pasos permitidos podemos resolver una ecuación lineal paso a paso. En los siguientes ejemplos, verás cómo se hace.

Encuentra el valor único de #x# para el cual #-3\cdot x+7=-9# es verdadero.

Da tu respuesta en forma de #x=\ldots# y simplifica tanto como sea posible.

#x={{16}\over{3}}#

#\begin{array}{rcl}
-3\cdot x+7&=&-9\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación original}}\\
-3\cdot x&=&-16\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se resta }7\text{ a ambos lados}}\\
x&=&\dfrac{-16}{-3}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados se dividen por }-3\text{ }}\\
x&=&\displaystyle {{16}\over{3}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{lado derecho simplificado }}
\end{array}#

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